Question

Graficar función a trozos encontrando los valores de (a) y/o (b) que hace que la función sea continua.
(Geogebra). Demostrar matemáticamente que la función queda continua con los valores hallados anteriormente.
f(x)={█(x+2a si x<-2@3ax+b si -2≤x≤1@3x-2b si x>1)┤

f(x)={█(ax-1 si x<2@ax^3 si x≥2)┤

Answer 1

La primera función f(x) es continua en    x  =  -2    y    x  =  1    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  1/3    y    b  =  2/3

La segunda función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  -1/6

Explicación:

Una función f(x) es continua en un valor dado    x  =  α    si se cumple que:

$\bold{f(\alpha)~=~\lim_{x\to \alpha}f_(x)}$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.  

Primera función:  

Ya que    f(-2)  y  f(1)    están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR    x  =  -2

1.-    f(-2)  =  3a(-2)  +  b

2.- $\begin{cases}\lim_{x\to\ -2^{-}}(x~+~2a)~=~-2~+~2a\\ \lim_{x\to\ -2^{+}}(3ax~+~b)~=~-6a~+~b\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$-2~+~2a~=~-6a~+~b\qquad\Rightarrow\qquad\bold{8a~-~b~=~2}$

VALOR    x  =  1

1.-    f(1)  =  3a(1)  +  b

2.- $\begin{cases}\lim_{x\to\ 1^{-}}(3ax~+~b)~=~3a~+~b\\ \lim_{x\to\ 1^{+}}(3x~-~2b)~=~3~-~2b\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$3a~+~b~=~3~-~2b\qquad\Rightarrow\qquad\bold{3a~+~3b~=~3}$

Con las ecuaciones en el paso 3 de cada valor construimos un sistema:

8a  -  b  =  2

3a  +  3b  =  3

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por (3) y sumamos, obteniendo:

27a  =  9        ⇒        a  =  1/3        ⇒        b  =  2/3

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  -2  se obtiene que el límite vale  -4/3,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  1  se obtiene que el límite vale  5/3,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

La primera función f(x) es continua en    x  =  -2    y    x  =  1    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  1/3    y    b  =  2/3

Segunda función:

Ya que    f(2)    está definida, vamos a plantear los límites laterales en ese punto y los igualamos al valor de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar el valor de a.

1.-    f(2)  =  a(2)3  =  8a

2.- $\begin{cases} {\lim_{x\to\ 2^{-}}(ax~-~1)~=~2a~-~1\\\lim_{x\to\ 2^{+}}(ax^{3})~=~8a\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$2a~-~1~=~8a\qquad\Rightarrow\qquad \bold{a~=~-\frac{1}{6}}$

4.- El límite existe y es igual a la función evaluada en el punto:

$\bold{\lim_{x\to\ 2^{-}}f_{(x)}~=~\lim_{x\to\ 2^{+}}f_{(x)}~=~-\frac{4}{3}~=~f_{(2)}}$

La segunda función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  -1/6