Question

Graficar función a trozos encontrando los valores de a y/o b que hace que la función sea continua (GeoGebra). Demostrar Matemáticamente que la función es continua en el valor hallado.

Answer 1

En las imágenes adjuntas están las funciones con los valores de a y b que las hacen continuas. Estas son $f(x)=\left \{ {{x^5~~x<0} \atop {x^3 ~~x\geq 0}} \right.$ y $f(x)=\left \{ {{-\frac{8}{3}x-\frac{10}{3}}~~x\leq -2 \atop {-\frac{4}{3}x^2+\frac{22}{3}}~~-2<x< 2} \right \atop {2x-2}~~x\geq 2} \right.$

Explicación:

Todas las funciones son polinómicas por lo que son continuas para todos los reales. Por ende evaluamos la continuidad solo en los puntos de cambio de rama:

c) Para que sea continua se necesita cumplir con lo siguiente:

$\lim_{x \to 0^-} x^2+2a = \lim_{x \to 0^+} x^3-10a \\\\0^2+2a=0^3-10a$

La identidad solo se satisface con a=0 por lo que la función queda:

$f(x)=\left \{ {{x^5~~x<0} \atop {x^3 ~~x\geq 0}} \right.$

d) Aquí hay dos puntos de cambio de ramas, por lo que evaluamos los límites en ellos, en x=-2 tenemos:

$\lim_{x \to -2} 2ax-b = \lim_{x \to -2} ax^2+b-3a\\ \\-4a-b=4a+b-3a\\5a+2b=0$

Y en x=2 tenemos:

$\lim_{x \to 2} ax^2+b-3a = \lim_{x \to 2} 2x-a-b\\ \\4a+b-3a=4-a-b\\2a+2b=4$

Con estas dos expresiones resolvemos el sistema de ecuaciones:

5a+2b=0

2a+2b=4

Restamos miembro a miembro la primera ecuación a la segunda

$-3a=4\\\\a=-\frac{4}{3}$

Y ahora multiplicamos por 2 la primera ecuación y por 5 la segunda y restamos miembro a miembro:

$10a+4b=0\\10a+10b=20\\\\6b=20\\\\b=\frac{10}{3}$

Con lo que la función queda:

$f(x)=\left \{ {{-\frac{8}{3}x-\frac{10}{3}}~~x\leq -2 \atop {-\frac{4}{3}x^2+\frac{22}{3}}~~-2<x< 2} \right \atop {2x-2}~~x\geq 2} \right.$