Question

Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua.
(Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis.

Answer 1

Para que una función sea continua en un punto x0, debe cumplir:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x)= \lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x)$

Es decir la función tiene que estar definida en ese punto y además coincidir con el limite en ese punto el cual debe existir (es decir, lo que expresa esa ecuación, el límite lateral para valores del dominio menores que x0 y el límite lateral para valores del dominio mayores a x0, deben coincidir) .

a) En este caso, tenemos:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)= \lim_{x \to 2^+} f(x)=f(x)\\\lim_{x \to 2^-} x^2-3a-5= \lim_{x \to 2^+} x^2+5x=2^2+5.2=14$

Queda para el tramo para valores menores a x=2:

$\lim_{x \to 2^-} x^2-3a-5=14$

$2^2-3a-5=14\\4-5-3a=14\\a=-5$

b) En este otro caso:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)= \lim_{x \to 2^+} f(x)=f(x)\\\lim_{x \to 2^-} x^3+a= \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x}=\frac{2}{2}=1$

Queda para el límite del tramo para valores menores a x=2:

$lim_{x \to 2^-} x^3+a= 1\\2^3+a=1\\a=-7$