Question

Generalizar el proceso para resolver inecuaciones con valores absolutos ​

Answer 1

La función Valor Absoluto es una función definida a trozos que tiene por dominio los números reales y por rango los reales positivos más el cero; es decir, siempre devuelve un valor positivo o nulo como resultado.

Explicación paso a paso:

La función valor absoluto es una función definida a trozos:

$\bold{f_{(x)}~=~|x|~=~\left\{\begin{array}{ccc}-x\qquad si~x~<~0\\ \\0\qquad si~x~=~0\\ \\x\qquad si~x~>~0\end{array}}$

En otras palabras, es una función que siempre devuelve un valor positivo o nulo de la cantidad que está encerrada en las barras verticales.

Cuando se trabaja con inecuaciones, de esa definición se tienen las siguientes propiedades:

a.   | x |  <  a        (a  es un número cualquiera)

En este caso se dice que  x  es interna al valor   a;  es decir,    x    pertenece a un intervalo abierto, dada la desigualdad absoluta, cuyos extremos son el valor    a   negativo y positivo:

-a  <  x  <  a        ⇒        x  ∈  (-a, a)

b.    | x |  >  a

En este caso se dice que    x    es externa al valor   a;  es decir,    x    no pertenece al intervalo cerrado, dada la desigualdad absoluta, cuyos extremos son el valor    a   negativo y positivo:

x  <  -a        ∨        x  >  a        ⇒        x  ∈  (-∞, -a) ∪ (a, +∞)

x    está en los intervalos extremos de la recta numérica fuera del valor    a; es decir, fuera del intervalo  [-a, a].