Question

funciones cuadraticas como se hace un pasaje de expreciones( polinomica, factorizada y canonica)

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta:

Supongamos que tenemos una función cuadrática de la forma:

$F(x)= ax^{2} +bx+c$

a,b,c ∈ R ∧   a ≠ 0

Busquemos la forma factorizada de esta función.

Podemos expresarla como:

$F(x)=a*(x^{2} +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0$

Es prácticamente lo mismo,  ahora recordando el Teorema de Cardano:

$x_{1} +x_{2} = -\frac{b}{a\\}\\\\x_{1} *x_{2} = \frac{c}{a}$

Reemplazando:

$F(x)= a*(x^{2} -(x_{1} +x_{2})x+(x_{1}*x_{2}))$

$F(x)= a*(x^{2} -xx_{1} -xx_{2} +x_{1} *x_{2} )$

$F(x)= a*(x*(x-x_{1} )-x_{2}*(x-x_{1}))$

Factorizando (x-x₁)

$F(x)= a*(x-x_{1})*(x-x_{2})$  

Llegamos a la forma factorizada de la función cuadrática,

Busquemos ahora la forma canónica, partiendo de la forma polinomica:

$F(x)= ax^{2} +bx+c$

$F(x)= a*(x^{2} +\frac{b}{a} x+\frac{c}{a})$

Por completacion de cuadrados:

$F(x)= a*(x^{2} +\frac{b}{a} x+\frac{b^{2} }{4a^{2} } -\frac{b^{2} }{4a^{2} } +\frac{c}{a} )$

Factorizamos el trinomio:

$F(x)= (x+\frac{b}{2a} )^{2} +\frac{-b+4ac}{4a}$

Finalmente, para reducir toda esa expresión, usemos las letras "-h" y "k" para denotar esas expresiones:

$F(x)=a*(x-h)^{2} +k$   Forma canonica:

Veamos un ejercicio:

F(x)= 2x²-2x -12

Para pasar a la forma factorizada debemos hallar las raices de esta ecuación, podemos usar la formula general para resolverla, (igual a 0 la función)

Nos dará como solución:

x₁= 3             x₂= -2

Entonces recordando la forma factorizada:

$a(x-x_{1} )*(x-x_{2} )=0$

Reemplazamos:

$2(x-3)*(x+2)=0$

Para volver a la forma polinomica, aplicas propiedad distributiva y resuelves:

Forma canónica:

$F(x)= 2x^{2} -2x-12$

$F(x)=2*( x^{2} -x-6)$

$F(x)= 2*(x^{2} -x+(\frac{1}{2} )^{2} -(\frac{1}{2} )^{2} -6)$

$F(x)= 2*((x-\frac{1}{2})^{2} -\frac{25}{4} )$

Por propiedad distributiva

$F(x)=2(x-\frac{1}{2} )^{2} -\frac{25}{2}$

Para pasar a forma polinomica, debemos resolver el binomio e ir reduciendo

Saludoss