Question

Funcion racional

Explicado
$f(x) = \frac{5}{x - 3} + 4$
Hallar

Desplazamiento Vertical:

Desplazamiento Horizontal:

Asintota Vertical:

Asintota Horizontal:

Comportamiento:​

Answer 1

Explicación paso a paso: Comenzamos calculando la asíntota horizontal. Para ello, estudiamos el comportamiento de la función en el infinto

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5}{x-3} +4=\frac{5}{\infty -3} +4 =\frac{5}{\infty } +4=0+4=\boxed{4}$

Y en el menos infinito

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{5}{x-3} +4=\frac{5}{-\infty -3} +4 =\frac{5}{-\infty } +4=0+4=\boxed{4}$

La recta $y=4$ es asíntota vertical por la izquierda y por la derecha.

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Estudiemos las asíntotas verticales. Solo existe un único punto candidato a A.V., aquel que haga nulo el denominador $(x=3)$. Estudiamos los limites laterales

$\lim\limits_{x \to 3^+} \frac{5}{x-3} +4=\frac{5}{3-3} +4=\frac{5}{0^+} +4=+\infty\\ \lim\limits_{x \to 3^-} \frac{5}{x-3} +4=\frac{5}{3-3} +4=\frac{5}{0^-} +4=-\infty$

Luego la recta $x=3$ es asíntota vertical de la función

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Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos

$f(x)=\frac{5}{x-3} +4\\f'(x)=-\frac{5}{(x-3)^2}$

Igualamos a $0$ para hallar los puntos críticos de la función

$f'(x)=0 \iff \frac{5}{(x-3)^{2} } =0, \text{no tiene solucion}$

No hay punto crítico, por lo tanto decimos que la función es monótona. Como la derivada es estrictamente negativa para cualquier valor de $x\neq 3$, decimos que la función es monótona decreciente