Question

Función inversa f(x)=(6x+13)^2

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                     Función Inversa

Antes debemos repasar una definición importante, que es la siguiente:

                                 Función Inyectiva

Una función "f" es inyectiva si nunca toma el mismo valor 2 veces, es decir:

                 f(x₁) ≠  f(x₂)      Siempre que x₁ ≠ x₂

En el primer gráfico tenemos un ejemplo, del conjunto "A" sale solo una flecha de cada elemento hacia "B", si hubiesen salido 2, entonces no sería inyectiva

Otra forma de verlo, es por su gráfica, trazamos una linea horizontal, si vemos que esta intersecta a la función solamente una vez, entonces es inyectiva. Por ej la función f(x)= x² no es inyectiva

Ahora si, podemos definir una función inversa

Sea "f" una función inyectiva con Dominio "A" y Rango "B". Entonces la función inversa f⁻¹ tiene Dominio "B" y Rango "A" y estará definida por:

                 f⁻¹(y)= x    ⇔   f(x)= y      

Para cualquier y ∈ B

Por ej, en el 2do gráfico tenemos la misma función que la imagen 1, solamente que ahora en "B" las flechas vuelven hacia cada elemento de "A" definido

Es decir, la función inversa cambia la posición de las salidas y las entradas

*Es posible que haya funciónes que no sean inyectivas, entonces esta no tendrá inversa si estamos considerando todo su dominio, en cambio, si puede serlo si consideramos solo el interválo donde es inyectiva

Para encontrar la inversa de una función, debemos seguir los siguientes pasos:

• Escribimos y= f(x)

• Resolveremos esa ecuación para "x" en términos de "y"

• Luego intercambiamos las letras, es decir, "x" por "y". La ecuación resultante será y= f⁻¹(x)

Veamos como podemos el ejercicio

f(x)= (6x + 13)²

Escribimos

$y= (6x+13)^{2}$

Despejamos "x" pero recordando lo siguiente:

Si tenemos [g(x)]²= f   , las soluciónes son:

$g(x)= \sqrt{f}$     y    $g(x)= -\sqrt{f}$

Tenemos por un lado:

$\sqrt{y} =6x+13$

$\frac{\sqrt{y} -13}{6} =x$

Y por otro:

$-\sqrt{y} =6x+13$

$\frac{-\sqrt{y}-13 }{6} =x$

Intercambiamos las letras  finalmente(paso 3), por lo tanto obtenemos que la inversa de la f(x) es:

$f^{-1} (x)= \frac{\sqrt{x} -13}{6} , \frac{-\sqrt{x} -13}{6}$

Como el vertice de la funcion cuadrática es:

$V= -\frac{b}{2a} = -\frac{13}{6}$

Esto quiere decir que, a partir del -13/6, la función tiene inversa pero en la parte derecha de la función, veamos para el lado izquierdo

Calculamos f(-13/6)

$f(-\frac{13}{6} )= [6*(-\frac{13}{6} )+13)]^{2}$

$f(-\frac{13}{6} )= 0$

Es decir, que la función tiene inversa si la definimos de la siguiente manera:

f: [-2,166 ; ∞) ⇒ [0, ∞)

Saludoss