Question

Formula general para progresiones aritmeticas

Answer 1

una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de cualquier par de términos sucesivos de la secuencia es constante, dicha cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».

Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.

En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:

a n + 1 − a n = d {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} .

Conociendo el primer término a1 y la diferencia d, se puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la relación de recurrencia

a 1 , ( a 1 + d ) ⏟ a 2 , ( a 1 + d ⏟ a 2 + d ⏟ a 3 ) , ⋯ , ( a 1 + ( n − 2 ) d ⏟ a n − 1 + d ⏟ a n ) {\displaystyle a_{1},\,\underbrace {(a_{1}+d)} _{a_{2}},\,(\underbrace {\underbrace {a_{1}+d} _{a_{2}}+d} _{a_{3}}),\,\cdots \,,\,(\underbrace {\underbrace {a_{1}+(n-2)d} _{a_{n-1}}+d} _{a_{n}})}

con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:

(I) a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+{(n-1)}{d}\,}

donde d es un número real cualquiera.

También se puede escribir el término general de otra forma. Para ello se consideran los términos am y an (m<n) de la progresión anterior y se ponen en función de a1:

a m = a 1 + ( m − 1 ) d a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle {\begin{matrix}a_{m}=&a_{1}+(m-1)d\\a_{n}=&a_{1}+(n-1)d\end{matrix}}}

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II) a n = a m + ( n − m ) d {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,}

expresión más general que (I), pues da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se tiene que:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3) d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0) d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior. Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)