Question

Física.

Resolver lo siguiente (4) :

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Cinemática

$\textbf{Problema :}$

Un automóvil de $3$ metros de longitud y un ómnibus se desplazan en la misma dirección por vías paralelas y rectilíneas con una rapidez constante de $5$ metros por segundo y $10$ metros por segundo, respectivamente. Si en el instante mostrado el automóvil acelera a razón de $10$ metros por segundo cuadrado con la intención de adelantar al ómnibus, determine la longitud del ómnibus dado que el automóvil logra su objetivo luego de $3$ segundos a partir del instante mostrado.

RESOLUCIÓN

Graficando las condiciones iniciales de los móviles en un instante de tiempo $t = 0$, y analizando las condiciones tenemos que la velocidad inicial $\overrightarrow{v}_{0}$ del automóvil es $\overrightarrow{v}_{0} = 5\ \hat{i}$, y al mismo tiempo este mismo automóvil adquiere una aceleración $\overrightarrow{a}$ cuya magnitud es $\overrightarrow{a} = 10\ \hat{i}$, la cual es constante, mientras que el ómnibus en tiene una velocidad constante $\overrightarrow{v} = 10\ \hat{i}$ y además la longitud de este ómnibus es $l$. Vea la Fig 1.

Con estos datos, ubiquemos un punto $\textrm{A}$ en la parte trasera del automóvil, este punto presenta las mismas cualidades de velocidad y aceleración del automóvil, y a la vez ubiquemos un punto $\textrm{B}$ también en la parte trasera del ómnibus, este punto presenta la misma velocidad del ómnibus.

Supongamos ahora que transcurrido un tiempo $\Delta t$ el automóvil se encuentra frente al ómnibus y su parte trasera (donde se encuentra nuestro punto $\textrm{A}$) se encuentra también en la parte delantera del ómnibus, es decir, en el instante $t = \Delta t$ es el tiempo mínimo necesario para que el automóvil logra rebasar completamente al ómnibus, tal y como se muestra en la Fig 2.

Note usted que en un tiempo $t$ mayor a $\Delta t$ el automóvil de igual forma logra adelantar al ómnibus, pero el problema nos dice que luego de un cierto tiempo recién lo logra por primera vez, en otras palabras, nos hablan de un tiempo mínimo.

Ahora con ayuda de nuestros conocimiento en $\textrm{M.R.U}$ y $\textrm{M.R.U.V}$ sabemos que la distancia que recorre el punto $\textrm{A}$ desde $t = 0$ hasta $t = \Delta t$ viene dada por la fórmula $\Delta x = v_{0} ( \Delta t ) + \dfrac{1}{2} \cdot a_{0} \cdot ( \Delta t )^2$, y la distancia que recorre el punto $\textrm{B}$ desde $t = 0$ hasta $t = \Delta t$ viene dada por la fórmula $\Delta x = v ( \Delta t )$. Graficando estos datos geométricamente tenemos como resultado la Fig 2.

Entonces deducimos de la Fig 2 la siguiente ecuación :

$5 ( \Delta t ) + \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot ( \Delta t )^2 = 3 + 7 + 10 ( \Delta t ) + l$

y por dato del problema $\Delta t = 3$

$5 (3) + \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot ( 3)^2 = 3 + 7 + 10 (3) + l$

La solución de esta ecuación es $l = 20$, y como $l$ nos representa la longitud del ómnibus hasta ahora desconocida podemos afirmar que la longitud del ómnibus es $20$ metros.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La longitud del \'omnibus es 20 metros}}$

Answer 2

Origen de coordenadas en la parte trasera del auto.

Posición del auto:

x = 5 m/s . t + 1/2 . 10 m/s² . t²

Para que el auto sobre pase al ómnibus, la parte trasera del auto debe quedar en la misma posición que el frente del ómnibus.

La posición del frente del ómnibus es:

x' = 3 m + 7 m + L + 10 m/s . t

Cuando t = 3 s, las posiciones son iguales.

5 m/s . 3 s + 1/2 . 10 m/s² (3 s)² = 10 m + L + 10 m/s . 3 s_

60 m = 40 m + L

Por lo tanto L = 20 m

Saludos.