Question

Factorizar los polinomios teniendo en cuenta sus características:

Answer 1

Factorizar los siguientes polinomios teniendo en cuenta sus características:

1- (xyz)(1+z)

2- $8a^{2}(3a^{4} + a^{2} -2 )$

3- (a+1)(m+n)

4- (x+1)(y-3)

5- (x-y)(2m + n³)

6-(2y-x)(5xy+ 2m)

Procedimiento:

1- xyz + xyz²

Sacamos Factor común "xyz" quedándonos como resultado final:

(xyz)(1+z)

2- $24a^{6} +8a^{4}-16a^{2}$

Sacamos Factor común "8a²" quedándonos como resultado final:

$8a^{2}(3a^{4} + a^{2} -2 )$

3- m(a+1) + n(a+1)

Sacamos Factor común "(a+1)" quedándonos como resultado final:

(a+1)(m+n)

4- y(x+1)-3(x+1)

Sacamos Factor común "(x+1)" quedándonos como resultado final:

(x+1)(y-3)

5- 2mx+n³x-2my-n³y

Aplicamos factor común por agrupación de términos, primero de "2m" quedándonos: 2m(x-y)+n³x-n³y, Nos damos cuenta qué "n³" se puede sacar factor común: 2m(x-y)+n³(x-y), para finalizar agrupamos quedándonos como resultado final:

(x-y)(2m + n³)

6- 10xy²-5x²y+4my-2mx

Aplicamos factor común por agrupación de términos, primero de "5xy" quedándonos: 5xy(2y-x)+4my-2mx, Nos damos cuenta qué "2m" se puede sacar factor común: 5xy(2y-x)+2m(2y-x), por último factor común quedándonos como resultado final:

(2y-x)(5xy+2m)

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Answer 2

En todos los polinomios propuestos se aplica la técnica de factorización por factor común.

¿Qué es factorizar por factor común?

El factor común es una expresión que divide todos los términos de un polinomio, es decir, es el Máximo Común Divisor (MCD) entre todos los términos del polinomio.

El resultado es la expresión del polinomio como un producto del MCD por el resto del polinomio, es decir, un polinomio formado por los factores no comunes.

1.  xyz  +  xyz²

MCD  =  xyz

xyz  +  xyz²  =  xyz ( 1  +  z )

2.  24a⁶  +  8a⁴  -  16a²

MCD  =  8a²

24a⁶  +  8a⁴  -  16a²  =  8a² ( 3a⁴  +  a²  -  2 )

En el segundo factor aplicamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado y binomios conjugados

$\bold{ax^2~+~bx~+~c~=~0\qquad\Rightarrow\qquad x~=~\dfrac{-b~\pm~\sqrt{b^2~-~4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\qquad} \\\\\\a\bold{x^2~+~bx~+~c~=~a(x~-~\dfrac{-b~-~\sqrt{b^2~-~4ac}}{2a})(x~-~\dfrac{-b~+~\sqrt{b^2~-~4ac}}{2a})}$

$\bold{3a^4~+~a^2~-~2~=~0\qquad\Rightarrow\qquad a^2~=~\dfrac{-1~\pm~\sqrt{(1)^2~-~4(3)(-2)}}{2(3)}\qquad\Rightarrow\qquad} \\\\\\\bold{3a^4~+~a^2~-~2~=~3(a^2~+~1)(a^2~-~2/3)~=~3(a^2~+~1)(a~+~\sqrt{2/3})(a~-~\sqrt{2/3})}$

Finalmente

$\bold{24a^6~+~8a^4~-~16a^2~=~24a^2(a^2~+~1)(a~+~\sqrt{2/3})(a~-~\sqrt{2/3})}$

3.  m (a  +  1)  +  n (a  +  1)

MCD  =  a  +  1

m (a  +  1)  +  n (a  +  1)  =  (a  +  1) (m  +  n)

4.  y (x  +  1)  -  3 (x  +  1)

MCD  =  x  +  1

y (x  +  1)  -  3 (x  +  1)  =  (x  +  1) (y  -  3)

5.  2mx  +  n³x  -  2my  -  n³y

MCD  =  2m  +  n³

2mx  +  n³x  -  2my  -  n³y  =  x (2m  +  n³)  -  y (2m  +  n³)

2mx  +  n³x  -  2my  -  n³y  =  (2m  +  n³) (x  -  y)

6.  10xy²  -  5x²y  +  4my  -  2mx

MCD  =  2y  -  x

10xy²  -  5x²y  +  4my  -  2mx  =  5xy (2y  -  x)  +  2m (2y  -  x)

10xy²  -  5x²y  +  4my  -  2mx  =  (2y  -  x) (5xy  +  2m)

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