Question

Factorizar el polinomio lo maximo posible:
$\frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{25} - \frac{2}{75}x+ x^{2}$

Answer 1

Hola primero convertimos el $x^{2}$ en fracción para multiplicar las fracciones, esto lo hacemos agregando un 1 en el denominador de $x^{2} = \frac{x^2}{1}$

Ahora si podemos multiplicar fracciones , pero debemos buscar el mínimo común múltiplo el cual es 75.

$\frac{2x^3*25}{75} - \frac{3}{75} - \frac{2x}{75}+ \frac{x^2*75}{75}$ Como los denominadores son iguales podemos combinar la fracción

$\frac{2*25x^3-3-2x+75x^2}{75}$ Hacemos la operación 2*25=50x^3

$\frac{50x^3-3-2x-75x^2}{75}$ Nos queda así

Ahora si podemos factorizar, lo haremos por agrupación

$(50x^3+75x^2) + (-2x-3)$ Aquí podemos factorizar en el primer paréntesis 25*2 = 50 25*3= 75 y x^2 porque se agarra el de menor exponente

$25x^2(2x+3) -(2x+3)$ Aquí cambiamos el signo en 2x-3 y podemos un negativo afuera para que adentro quede 2x+3 y ahora quedan dos términos comunes que son (2x+3)

$(2x+3) (25x^2-1)$ El -1 sale porque el signo - que tiene 2x+3 significa que hay un 1 ahí...

Ahora podemos factorizar el 25x^2-1 como una diferencia de cuadrados

Rpta: $\frac{(2x+3)(5x+1)(5x-1)}{75}$


Listo, saludos y espero que te sirva.