Question

Factorización de trinomios de la forma x2n + bxn + c

Answer 1

La expresión factorizada de este polinomio es n(x+b/2)² + c  - nb²/4

En este caso debemos utilizar un método que se llama completación de cuadrados para poder simplificar la expresión dada, esta consiste en tomar una ecuación cuadrática de la forma

$ax^2 + bx$

Y representarla como la suma de un cuadrado perfecto y una constante, hay que recordar que  un cuadrado perfecto se escribe de la siguiente manera

(x+k)² = x² +2kx + k²

Por lo que queremos convertir

ax² + bx, en ago similar a lo de arriba, primero factorizamos a, pr factor común

ax² + bx = a( x² + (b/a)x )

Luego, vemos que tenemos el x² y una (b/a)x, pero necesitamos algo 2kx, por lo que multiplicamos y dividimos entre dos, es decir

b/a = 2(b/2a), lo que queda

a( x² + (b/a)x ) = a( x² + 2(b/2a)x )

Por último notamos que necesitamos un k², pero no lo tenemos, lo que podemos hacerlo es decir que k² - k² = 0 y sumar esto, lo que queda

a( x² + 2(b/2a)x ) = a( x² + 2(b/2a)x + (b/2a)² - (b/2a)² ) , si tomo los 3 términos de la izquierda, entonces tengo un cuadrado perfecto, es decir

a( x² + 2(b/2a)x + (b/2a)² - (b/2a)² ) = a[ (x + b/2a)² - b²/4a² ]

= a(x+b/2a)² - b²/4a

Esto es lo que queríamos.

En nuestro ejercicio, queremos expresar

nx² + bnx + c

como un cuadrado perfecto más un número, por lo que

$nx^2 + bnx + c = n( x^2 + bx ) + c = n( x^2 + 2(b/2)(x) ) + c\\\\= n( x^2 + 2(b/2)(x) + (b/2)^2 - (b/2)^2 ) + c = n[(x+b/2)^2 - (b/2)^2] + c\\\\= n(x+b/2)^2 + c -nb^2/4 = n(x + \frac{b}{2})^2 + c - n\frac{b^2}{4}$

Es decir, la expresión factorizada de este polinomio es n(x+b/2)² + c  - nb²/4