Question

f(x) = 2x3 - 3x2 ) f(x) = x2 + 6x - 1
alguien que me ayude a sacar el resultado de estas dos tengo que sacar
máximos y mínimos de cada función ​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

          Máximos y Mínimos

  Sea f una función con dominio X

Decimos que f tiene un máximo local en un punto "c" si

                    f(c) ≥ f(x)     ∀x ∈ X

Decimos que f tienen un mínimo local en "d" si

                    f(d) ≤ f(x)     ∀x ∈ X

Para poder hallar los máximos o mínimos debemos recurrir al criterio de la segunda derivada

                 Criterio de la segunda derivada

Supongamos que f'(x) =  0.  Entonces:

-Si f''(a) > 0, entonces f tiene un mínimo local en a

-Si f''(a) < 0, entonces f tiene un máximo local en a

*Este criterio es incierto si f''(a) = 0 ,  esto significa que puede haber en "a" o un máximo, o un mínimo o podría no haber ninguno

Veamos, tenemos la funciones

f(x)= 2x³ - 3x²

Aplicando reglas de derivación obtenemos:

$f'(x)= (2x^{3})' -(3x^{2} )'$

$f'(x)= 2*3x^{3-1} -3*2x^{2-1}$

$f'(x)= 6x^{2} -6x$

Igualamos f'(x) a 0 para obtener sus puntos críticos

$0= 6x^{2} -6x$

$6x(x-1)=0$

$x_{1} =0$

$x-1=0$

$x_{2} =1$

Volvemos a derivar la función:

$f''(x)= (6x^{2} )' - (6x)'$

$f''(x) = 12x - 6$

Evaluamos los puntos críticos en la 2da derivada

$f''(0)= 12(0)-6$

$f''(0)= -6$

Como f''(0) < 0, entonces existe un máximo local en 0

$f''(1)= 12(1) - 6$

$f''(1)= 12 - 6$

$f''(1)= 6$

Como f''(1) > 0 , entonces existirá un mínimo local en 1

2) f(x)= x² + 6x - 1

$f'(x)= (x^{2} ) + (6x)' + 1'$

$f'(x)= 2x+6$

Sus puntos críticos son:

$2x+6=0$

$2x=-6$

$x=-3$  

Derivando nuevamente la función:

$f''(x)= (2x)' + 6'$

$f''(x)= 2$

Claramente f''(-3) > 0 , entonces hay un mínimo local en -3

*Adjunto las gráficas de las funciones

Saludoss