Question

Extraer factores fuera del signo radical:
$\sqrt[3]{x^{5} } y^{3}$

Answer 1

Extracción de factores en un radical

 

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

1 Un exponente del radicando es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Ejemplos:

1. a\sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3}
2.  b \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^{2}}

 

2 Un exponente del radicando es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

 

Ejemplo:

1. a \sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{3}

Descomponemos 12 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

 

1. b \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2

 

 

 

 

 

 

Descomponemos 8 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

 

3 Un exponente del radicando es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

 

Ejemplos:

 

a \sqrt{48}=\sqrt{2^{4}\cdot 3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}          \begin{matrix} 4 & | \underline{\, 2\, } \\ 0 & 2 \end{matrix}

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (4) entre el índice (2).

El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (0) es el exponente del factor dentro del radicando

 

b \sqrt[3]{243}=\sqrt[3]{3^{5}}=3\sqrt[3]{3^{2}}=3\sqrt[3]{9} \begin{matrix} 5 & | \underline{\, 3\, } \\ 2 & 1 \end{matrix}

Descomponemos en factores 243=3^{5}

 

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (5) entre el índice (3).

El cociente obtenido (1) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (2) es el exponente dentro del radicando

Como el factor2^{0} es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

 

c \sqrt{2\cdot 3^{2}\cdot 5^{5}}=3\cdot 5^{2}\sqrt{2\cdot 5}=75\sqrt{10}

 

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (2\; \textup{y}\; 5) por el índice (2).

Cada uno de los cocientes (1\; \textup{y}\; 2) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (0\; \textup{y}\; 1) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

 

Cada uno de los cocientes (1, 3 y 1) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (3, 2 y 0) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

Espero que te sirva