Question

“Expresiones Trigonométricas”
11.Dado que sen(x) = 1/3, donde x es un ángulo agudo, halle el valor exacto de:
a) Cos(x)
b) Cos(2x)
c) Sen(2x)
d) Tan(x)
"Ecuaciones Trigonométricas”
12. Sea p(x): 2sen2
(x) – 7sen(x) + 3 = 0 y 0 ≤ x ≤ π, la suma de los elementos de Ap(x)
es:
a) π
b) π/3
c) 5π/3
d) 7π/6
POR FAVOR AYUDENME NECESITO RESOLVER ESTOS DOS EJERCICIOS

Answer 1

Teniendo el seno del ángulo y aplicando identidades trigonométricas llegamos a:

$cos(x)=\frac{2}{3}\sqrt{2}\\cos(2x)=\frac{7}{9}\\sen(2x)=\frac{4}{9}\sqrt{2}\\tan(x)=2\sqrt{2}$

Y la suma de las raíces de la ecuación trigonométrica es $\pi$.

Explicación paso a paso:

Para hallar el coseno del mismo ángulo, siempre que sea agudo, vamos a aplicar la identidad pitagórica:

$cos(x)=\sqrt{1-sen^2(x)}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$

El coseno del doble de ese ángulo es:

$cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)=(\sqrt{\frac{8}{9}})^2-(\frac{1}{3})^2=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$

El seno del doble de ese ángulo es:

$sen(2x)=2sen(x)cos(x)=2\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}\sqrt{2}=\frac{4}{9}\sqrt{2}$

Y la tangente es el cociente entre el seno y el coseno del ángulo:

$tan(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$

Mientras que en la ecuación trigonométrica podemos realizar la siguiente sustitución:

$u=sen(x)$

Y la ecuación queda:

$2u^2-7u+3=0$

Para hallar el seno del ángulo resolvemos la ecuación cuadrática:

$u=\frac{7\ñ\sqrt{(-7)^2-4.2.3}}{2.2}=\frac{7\ñ\sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\ñ5}{4}\\\\u=3\\\\u=\frac{1}{2}$

Como el seno no puede ser mayor que 1 el único valor válido es $u=\frac{1}{2}$, y los valores correspondientes de ese ángulo son:

$sen^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}\\\\sen^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{5\pi}{6}$

El primero es un ángulo del primer cuadrante y el segundo es del segundo cuadrante donde el seno es positivo, la suma entre ellos queda:

$\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}=\pi$