Question

expresiones generales cuadraticas para definir el enesimo termino en una sucesion

Answer 1

La expresión general cuadrática para definir el enésimo termino de una sucesion es $A_{n}=An^{2}  +Bn+C$

Sea A un conjunto no vacío. Una sucesión de elementos de A es una aplicación  del conjunto N de los números naturales en A. En particular, una sucesión de números reales  es una aplicación del conjunto N de los números naturales en el conjunto R de los números  reales.

Para un sucesión cuadrática la expresión general es (Ecuación 1):

$A_{n}=An^{2}  +Bn+C$

Y para determinar ese An se utiliza la siguiente ecuación (Ecuación 2):

$A_{n} =\frac{A}{2}n^{2}+ (B -\frac{3A}{2})n+(A+C-B)$

El número an se llama término n-ésimo de la sucesión; para n = 1, 2, 3 se habla respectivamente  de primero, segundo, tercer término de la sucesión.

Por ejemplo tenemos la siguiente sucesión:

11, 18, 29, 44, 63...

Esto es:

a1=11

a2=18

a3=29

a4=44

a5=63

Ahora resolvemos. Primero determinamos el primer orden, de la siguiente manera:

• 11-18=7
• 18-29=11
• 29-44=15
• 44-63=19

 11, 18, 29, 44, 63...

   7, 11, 15, 19... Primer Orden

Buscamos el segundo orden de la misma forma:

• 7-11=4
• 11-15=4
• 15-19=4

 

Vemos que el segundo orden es el mismo valor, y en una sucesión cuadrática siempre sera así. Ahora definimos los valores para la ecuación 2

C=  11, 18, 29, 44, 63...

B=    7, 11, 15, 19... Primer Orden

A= 4,   4,   4...  Segundo orden

• A sera igual al primer termino del segundo orden 4
• B sera igual al primer termino del primer orden 7
• C sera igual al primer termino de la sucesión a1=11

$A_{n} =\frac{4}{2}n^{2}+ (7 -\frac{3*4}{2})n+(4+11-7)$

$A_{n} =2n^{2}+ (1)n+(8)$

$A_{n} =2n^{2}+n+8$

Y esa es la solución. Se puede probar buscando si funciona sustituyen n por cualquier numero de an contengas, por ejemplo si sustituye 3 en el resultado te debe dar el valor a3=29