Question

Exprese los siguientes sistemas de ecuaciones como sistemas escalonados
13x -31y = -326
25x +37y = 146


3x –(y + 2) = 2y + 1
5y – (x + 3) = 3x + 1

Answer 1

Un sistema de ecuaciones escalonado es aquel donde cada ecuación tiene una variable menos que la anterior, en estos sistemas la matriz de coeficientes es triangular. Lo que vamos a hacer a continuación es la eliminación gaussiana simple para triangular las matrices ampliadas de cada sistema, empecemos por el primero:

$13x-31y=-326\\25x+37y=146$

La matriz ampliada es:

$\left[\begin{array}{cccc}13&-31&|&-326\\25&37&|&146\end{array}\right]$

Para simplificar restamos la primera fila a la segunda y la dividimos por 4:

$\left[\begin{array}{cccc}13&-31&|&-326\\12&68&|&472\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}13&-31&|&-326\\3&17&|&118\end{array}\right]$

Ahora sumamos la segunda fila a la primera:

$\left[\begin{array}{cccc}16&-14&|&-208\\3&17&|&118\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}8&-7&|&-104\\3&17&|&118\end{array}\right]$

Ahora hay que triangular la matriz izquierda, debemos anular uno de los coeficientes de la segunda fila. Multiplicamos la primera fila por 3 y la segunda por 8 y las restamos:

$\left[\begin{array}{cccc}24&-21&|&-312\\24&136&|&944\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}24&-21&|&-312\\0&-157&|&-1256\end{array}\right]$

Veo que puedo simplificar el sistema dividiendo por -157 la segunda fila y dividiendo por 3 la primera.

$\left[\begin{array}{cccc}8&-7&|&-104\\0&1&|&8\end{array}\right]$

Con lo que el sistema quedó:

$8x-7y=-104\\y=8$

Ahora vamos a procesar el segundo sistema, primero operamos:

$3x-(y+2)=2y+1\\5y-(x+3)=3x+1\\\\3x-y-2=2y+1\\5y-x-3=3x+1\\\\3x-y=2y+3\\5y-x=3x+4\\\\3x-3y=3\\-4x+5y=4$

Ahora la matriz ampliada es:

$\left[\begin{array}{cccc}3&-3&|&3\\-4&5&|&4\end{array}\right]$

Ahora sigo con la eliminación gaussiana, multiplico primera fila por -4 y segunda fila por 3 y las resto:

$\left[\begin{array}{cccc}-12&12&|&-12\\-12&15&|&12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-12&12&|&-12\\0&-3&|&-24\end{array}\right]$

Ahora dividimos la primera fila por 12 y la segunda por -3 para simplificar:

$\left[\begin{array}{cccc}-1&1&|&-1\\0&1&|&8\end{array}\right]$

El sistema quedó:

$-x+y=-1\\y=8$