Expresar la hipotenusa h de un triángulo con área de 25 cm2 como función de su perímetro P, h= f (P).
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
h=(P/2)+(50/P).
Explicación paso a paso:
sabemos que el perímetro es...
P=a+b+h
a+b=P-h.........(1)
nos dan de dato
ab/2=25
ab=50..........(2)
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a²+b²=h².......teorema de Pitágoras
sumemos 2ab
a²+2ab+b²=h²+2ab
(a+b)²=h²+2ab........(3)
ponemos en la ecuación (3) las ecuaciones (1) y (2)
(P-h)²=h²+2(15)
resolviendo...
P²-2Ph+h²=h²-100
P²+100=2Ph
despejamos h
h=(P/2)+(50/P).....vemos que la altura esta en función al perímetro
La expresión de la hipotenusa h del triángulo en función del perímetro P es:
h = f (P) = ( P² - 100 ) / 2P
Explicación paso a paso:
Para expresar h = f(P) necesitamos hallar la forma de eliminar a y b de la relación.
Del teorema de Pitágoras podemos expresar h en términos de una suma de cuadrados de a y b. Del área podemos tener una expresión numérica para el producto ab.
Con esta información podemos forzar a que aparezcan todas esas expresiones en la ecuación del perímetro por medio del uso de binomios cuadrados:
A = ab/2 = 25 ⇒ ab = 50
h² = a² + b²
Ahora operamos en la expresión del perímetro:
P = a + b + h ⇒ P - h = a + b
Tomamos cuadrados a ambos lados y desarrollamos los productos notables:
(P - h)² = (a + b)² ⇒ P² - 2Ph + h² = a² + 2ab + b²
Sustituimos las expresiones en a y b por las expresiones halladas en el principio
P² - 2Ph + h² = h² + 2(50) ⇒ P² - 2Ph = 100 ⇒
P² = 2Ph + 100 ⇒ ( P² - 100 ) / 2P = h
La expresión de la hipotenusa h del triángulo en función del perímetro P es:
h = f (P) = ( P² - 100 ) / 2P
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