Question

explicar por qué la siguiente ecuacion no siempre es verdadera: cos(cos^-1 x)=cos^-1(cos x)

Answer 1

¡Buenas!

Función Coseno Inverso o Arco Coseno

Notación:

$y = arc cos( \alpha ) = cos^{*}( \alpha ) = cos^{-1}( \alpha ) \\ \\ \textrm{Notemos lo siguiente:} \\ \\ cos^{-1}( \alpha ) \neq \dfrac{1}{cos( \alpha )}$

$y = cos^{-1}(x) \Leftrightarrow\ cos(y) = x$

$\textrm{Debido a que la funci\'on coseno no es univalente, entonces debemos} \\ \textrm{restringir el dominio de la funci\'on coseno para obtener su inversa.} \\ \\ y = cos(x) \\ \\ \textrm{Dominio} = [ 0; \pi ] \\ \\ \textrm{Rango} = [ -1; 1 ] \\ \\ \textrm{Ahora podemos hallar la inversa de la funci\'on coseno, y como sabemos} \\ \textrm{el dominio de la funci\'on inversa, es el rango de la funci\'on y viceversa}$

$y = cos^{-1}(x) \\ \\ \textrm{Dominio} = [ -1; 1 ] \\ \\ \textrm{Rango} = [ 0; \pi ]$

$y = cos^{-1}(x) \Leftrightarrow\ cos(y) = x \\ \\ \textrm{Entonces...} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos(y) = x \\ \\ \textrm{Conclu\'imos:}$

$cos(cos^{-1}(x)) = x \\ \\ \textrm{A simple vista parece que esto siempre se cumple, pero en verdad no es as\'i} \\ \\ y = cos(\alpha) \\ \\ \textrm{Como sabemos el valor de alpha puede ser cualquier real} \\ \textrm{entonces, analicemos el siguiente caso} \\ \\ y = cos^{-1}(x) \\ \\ \textrm{Como sabemos el valor de} \ x \ \textrm{debe encontrarse entre -1 y 1, necesariamente.}$

$\textrm{Decimos entonces que para que se cumpla la siguiente igualdad} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = x, \ \ \ x \in\ [-1; 1]$

$\textrm{Ahora analicemos lo siguiente:} \\ \\ y = cos(x) \Leftrightarrow\ cos^{-1}(y) = x \\ \\ cos^{-1}(cos(x)) = cos^{-1}(y) = x \\ \\ \textrm{Parece ser que esto siempre se cumple, pero no siempre ocurre} \\ \\ \textrm{Uno pensar\'ia que siempre se cumple, debido a que el coseno se} \\ \textrm{encuentra entre -1 y 1, pero el valor de} \ \alpha\ \textrm{puede ser cualquier} \\ \textrm{n\'umero real, mientras que el rango del arco coseno se} \\ \textrm{encuentra entre 0 y}\ \pi.$

$\textrm{Decimos entonces que para que se cumpla la siguiente igualdad} \\ \\ cos^{-1}(cos(x)) = x, \ \ \ x \in\ [0; \pi]$

Nota:

Una manera más formal de demostrar estas restricciones al valor de la variable, es decir hallar dominio, es usando la composición de funciones; sin embargo la explicación de dicho tema es muy largo y resulta más intuitivo la explicación que te brinde, pero si quieres más información de dicho tema coméntalo.

$\textrm{Entonces conclu\'imos lo siguiente:} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos^{-1}(cos(x)) \\ \\ x \in\ [-1; 1] \wedge\ x \in [0; \pi] \\ \\ x \in [0; 1] \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos^{-1}(cos(x)) \to\ \textrm{solo se cumple si}\ \ x \in [0; 1]$

$\textrm{Veamos algunos ejemplos} \\ \\ x = 1 \\ \\ cos(cos^{-1}(1)) = cos^{-1}(cos(1)) \\ \\ cos(0)=cos^{-1}(0,5403023) \\ \\ 1 = 1 \\ \\ x = 0 \\ \\ cos(cos^{-1}(0)) = cos^{-1}(cos(0)) \\ \\ cos(\dfrac{\pi}{2}) = cos^{-1}(1) \\ \\ 0 = 0 \\ \\ x = - 0.2 \\ \\ cos(cos^{-1}(-0.2)) = cos^{-1}(cos(-0.2)) \\ \\ cos(1.7721542) = cos^{-1}(0.9800665)$

$\dfrac{-1}{5} \neq \dfrac{1}{5}$

Entonces terminamos con la explicación, espero haberte ayudado, cualquier consulta no dudes en comentar.