Matemáticas, pregunta formulada por thefymaria, hace 1 año

explicar por qué la siguiente ecuacion no siempre es verdadera: cos(cos^-1 x)=cos^-1(cos x)

Respuestas a la pregunta

Contestado por Mainh
3

¡Buenas!

Función Coseno Inverso o Arco Coseno

Notación:

y = arc cos( \alpha ) = cos^{*}( \alpha ) = cos^{-1}( \alpha ) \\ \\ \textrm{Notemos lo siguiente:} \\ \\ cos^{-1}( \alpha ) \neq \dfrac{1}{cos( \alpha )}


y = cos^{-1}(x) \Leftrightarrow\ cos(y) = x


\textrm{Debido a que la funci\'on coseno no es univalente, entonces debemos} \\ \textrm{restringir el dominio de la funci\'on coseno para obtener su inversa.} \\ \\ y = cos(x) \\ \\ \textrm{Dominio} = [ 0; \pi ] \\ \\ \textrm{Rango} = [ -1; 1 ] \\ \\ \textrm{Ahora podemos hallar la inversa de la funci\'on coseno, y como sabemos} \\ \textrm{el dominio de la funci\'on inversa, es el rango de la funci\'on y viceversa}


y = cos^{-1}(x) \\ \\ \textrm{Dominio} = [ -1; 1 ] \\ \\ \textrm{Rango} = [ 0; \pi ]


y = cos^{-1}(x) \Leftrightarrow\ cos(y) = x \\ \\ \textrm{Entonces...} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos(y) = x \\ \\ \textrm{Conclu\'imos:}


cos(cos^{-1}(x)) = x \\ \\ \textrm{A simple vista parece que esto siempre se cumple, pero en verdad no es as\'i} \\ \\ y = cos(\alpha) \\ \\ \textrm{Como sabemos el valor de alpha puede ser cualquier real} \\ \textrm{entonces, analicemos el siguiente caso} \\ \\ y = cos^{-1}(x) \\ \\ \textrm{Como sabemos el valor de} \ x \ \textrm{debe encontrarse entre -1 y 1, necesariamente.}

\textrm{Decimos entonces que para que se cumpla la siguiente igualdad} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = x, \ \ \ x \in\ [-1; 1]

\textrm{Ahora analicemos lo siguiente:} \\ \\ y = cos(x) \Leftrightarrow\ cos^{-1}(y) = x \\ \\ cos^{-1}(cos(x)) = cos^{-1}(y) = x \\ \\ \textrm{Parece ser que esto siempre se cumple, pero no siempre ocurre} \\ \\ \textrm{Uno pensar\'ia que siempre se cumple, debido a que el coseno se} \\ \textrm{encuentra entre -1 y 1, pero el valor de} \ \alpha\ \textrm{puede ser cualquier} \\ \textrm{n\'umero real, mientras que el rango del arco coseno se} \\ \textrm{encuentra entre 0 y}\ \pi.


\textrm{Decimos entonces que para que se cumpla la siguiente igualdad} \\ \\ cos^{-1}(cos(x)) = x, \ \ \ x \in\ [0; \pi]

Nota:

Una manera más formal de demostrar estas restricciones al valor de la variable, es decir hallar dominio, es usando la composición de funciones; sin embargo la explicación de dicho tema es muy largo y resulta más intuitivo la explicación que te brinde, pero si quieres más información de dicho tema coméntalo.


\textrm{Entonces conclu\'imos lo siguiente:} \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos^{-1}(cos(x)) \\ \\ x \in\ [-1; 1] \wedge\ x \in [0; \pi] \\ \\ x \in [0; 1] \\ \\ cos(cos^{-1}(x)) = cos^{-1}(cos(x)) \to\ \textrm{solo se cumple si}\ \ x \in [0; 1]


\textrm{Veamos algunos ejemplos} \\ \\ x = 1 \\ \\ cos(cos^{-1}(1)) = cos^{-1}(cos(1)) \\ \\ cos(0)=cos^{-1}(0,5403023) \\ \\ 1 = 1 \\ \\ x = 0 \\ \\ cos(cos^{-1}(0)) = cos^{-1}(cos(0)) \\ \\ cos(\dfrac{\pi}{2}) = cos^{-1}(1) \\ \\ 0 = 0 \\ \\ x = - 0.2 \\ \\ cos(cos^{-1}(-0.2)) = cos^{-1}(cos(-0.2)) \\ \\ cos(1.7721542) = cos^{-1}(0.9800665)


\dfrac{-1}{5} \neq \dfrac{1}{5}


Entonces terminamos con la explicación, espero haberte ayudado, cualquier consulta no dudes en comentar.



AspR178: Hola, buenas tardes Mainh, me podría ayudar con mi tarea de Geometría analítica ???
AspR178: Por favor, esque usted es muy bueno dando explicaciones
Mainh: En un momento la veo, es la ultima que publicaste?
AspR178: Correcto, gracias :D
AspR178: Antes que nada Mainh, muchas gracias por la ayida brindada, me fue excelente :)
AspR178: Pero, ahora me surgió otro problema que es parte del archivo que subí, la he vuelto a publicar específicamente ese ejercicio, si te llama la atención vale 100 puntos :D
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