Explicación paso a paso del siguiente problema de Raymond Chang y Consider a Spherical Cow—A Course in Evironment Problem Solving:
La información disponible hace pensar que casi 20% de la masa del asteroide se convirtió en polvo y se distribuyó uniformemente sobre la Tierra después de descender de la atmósfera superior. La cantidad de polvo fue de casi 0.02g/cm2 de la superficie terrestre. Es muy probable que el asteroide haya tenido una densidad cercana a 2g/cm3.
Calcule la masa (en kilogramos y toneladas) del asteroide, y su radio en metros (en el supuesto de que era una esfera).
(El área de la Tierra es de 5.1 x 10^14 m2; 1 lb = 453.6g).
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Masa en kg: 5.1 × 10^14 kg
Masa en tn: 5.1 × 10^11 tn
Radio en me: 3 934 m
Explicación:
Primero que nada hay que anotar los datos que te dan:
- 20% de la masa del asteroide: 0.02g/cm2
- Densidad del asteroide: 2g/cm3
- Área de la Tierra: 5.1 × 10^14 m2
No anoto el dato de 1 lb = 453.6 g porque en ningún momento te piden libras o te dan libras en los datos, así que termina por ser un dato innecesario para resolver el problema.
Ahora tienes que anotar las cosas que te piden:
- 100% de la masa del asteroide:
- En kg:
- En tn:
2. Radio del asteroide en m:
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Ahora hay que tener en cuenta las siguientes equivalencias pues nos serán muy útiles en el desarrollo de este problema:
- 1 m2 = 1 000 cm2
- 1 m3 = 1 000 000 cm3
- 1 kg = 1 000 g
- 1 tn = 1 000 kg o 1 000 000 g
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Bueno, primero nos piden la masa del asteroide.
Tenemos el 20% ya dado, así que sacaremos el 100% con regla de 3.
Pero antes de hacer esto voy a transformar los 0.02g/cm2 a g/m2 para que tenga la misma unidad de medida de distancia que el área de la Tierra, entonces:
(0.02g / cm2) (10 000 cm2 / 1 m2) = 200 g/m2
20% de la masa del asteroide son 200 g/m2, sin embargo, nos piden la totalidad de la masa. Hacemos regla de 3.
(200 g/m2) (100%) / 20% = 20 000 g/m2 / 20 tal que: 1 000 g/m2 = 100%
También puede interpretarse como 1 kg/m2 (ya que 1000 g = 1 kg).
Ahora se tiene que hacer la multiplicación del resultado del 100% de la masa con la distancia de la Tierra.
(5.1 × 10^14 m2 / 1) (1 kg/m2) = 5.1 × 10^14 kg
Como una tonelada tiene 1 000 kg (tiene tres ceros después del 1), se le resta 3 (la cantidad de 0) al exponente, por lo que hay:
- 5.1 × 10^14 kg
- 5.1 × 10^11 tn
- 5.1 × 10^17 g
Nótese que saque los g sumando los 3 ceros de la equivalencia entre g y kg (1 000 g = 1 kg) al exponente de kg.
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Ahora vamos a sacar el radio.
Para obtener el radio necesitamos el volumen de la esfera.
La fórmula base es d (densidad) = m (masa) / V (volumen).
Despeja la fórmula. Ésta queda de la siguiente manera:
V = m / d
Sustituimos con los valores que ya tenemos gracias a la pregunta anterior.
Primero tenemos que sustituir los valores en cm3 de la densidad a m3 porque nos piden precisamente eso, la medida en metros del radio.
(2 g / cm3) (1 000 000 cm3 / 1 m3) = 2 × 10^6 g/m3
Nótese que la densidad la tenemos con unidades de "g/m3", por lo que utilizaremos el valor de la masa que obtuvimos en gramos. Si tuviéramos "kg/m3" utilizaríamos la que obtuvimos en kg y así respectivamente.
Entonces:
V = (5.1 × 10^17 g) / (2 × 10^6 g/m3)
V = 2.55 × 10^11 m3
Ahora ya podemos sacar el radio. La fórmula base es la siguiente :
V = ¾pi (r³) (tres cuartos × pi × radio al cubo)
Lo que necesitamos es el radio, así que despejamos r3:
r³ = (V) (¾) / pi
Sustituimos valores:
r³ = (2.55 × 10^11 m3) (¾) / pi
Resolvemos (en calculadora preferiblemente) :
r³ = 6. 08768 × 10^10 m3
Ahora nótese que tenemos el resultado del radio elevado al cubo, al igual que metros elevados al cubo, y el problema nos pide radio normal y metros normales (elevados a la primera potencia).
Entonces, de ese resultado que obtuvimos tenemos que sacar la raíz cúbica.
Raíz cúbica de 6.08768 × 10^10 m3 (con calculadora) = 3 933.84525 m
Siguiendo las reglas de redondeo quedaría
r = 3 934 m
Pero puedes anotar el resultado con puntos decimales si es que así lo quieres.
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Ya nada más por mera diversión convertí esta cantidad a km
r = 3.9 km (siguiendo las reglas de redondeo)
Y de ahí te saqué el diámetro del asteroide (el diámetro es el doble del radio)
diámetro = 7.8 km
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Espero me hayas entendido, ¡mucha suerte con las vacas esféricas!