Explica en qué consiste el método de exhaución para calcular el área de figuras
delimitadas por curvas?
AYUDA PLIS
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El método exhaustivo es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. Fue creado por Eudoxo de Cnido, conocido por su teoría de las proporciones y teoremas sobre ella. También se conoce como: ... método de exhausción o.
El método de exhaución es un procedimiento geométrico ideado por los griegos mediante el cual podemos aproximarnos al perímetro o al área de figuras curvas, aumentado la precisión de la aproximación conforme avanzamos en el cálculo.
El ejemplo más conocido del método de exhaución es el ideado por Arquímedes y recogido en su libro Método. Allí se muestran los dos procedimientos que utilizó Arquímedes para determinar la longitud de la circunferencia.
Uno de ellos consistía en ir inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia. Cuantos más lados tengan dichos polígonos más se acercará el perímetro de estos a la longitud de la circunferencia. (Lo mismo ocurre con el área). Si pincháis en al siguiente imagen podéis comprobarlo moviendo el deslizador, que nos permite cambiar el número de lados de los polígonos regulares inscritos.
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- El otro consistía en ir circunscribiendo polígonos regulares a la circunferencia. Así, al igual que antes, al aumentar el número de lados de los polígonos, el perímetro de estos se acerca a la longitud de la circunferencia, y cuantos más lados tengan los polígonos regulares más precisa será la aproximación. (Lo mismo ocurre con el área.)
Arquímedes no se quedó sólo en el cálculo de longitudes y áreas, sino que utilizando los dos procedimientos consiguió obtener una aproximación del número \[\pi\].
Si pincháis sobre la siguiente imagen podréis ver cómo cambian los decimales de las aproximaciones por exceso y por defecto del número \[\pi\], siendo más certeras, cuantos más lados tienes los polígonos circunscritos e inscritos. También podéis cambiar el radio de la circunferencia para comprobar que el valor de \[\pi\] no depende del tamaño de la circunferencia. Es una constante.
En el s. XVI se reeditaron las obras de Arquímedes y estas, unidas a los avances que se produjeron en el álgebra, con las obras de Targaglia, Cardano y Viete, hicieron que en el s. XVII Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo diferencial e integral, unificándolos. Posteriormente, se llegaría a dar la definición rigurosa de límite, porque, aunque en la actualidad estudiemos primero los límites y después las derivadas y las integrales, históricamente el orden en el que surgieron fue el contrario.
