explica como los axiomas y teoremas ayudan a la construcción de saber cientifico dentro de un sistema axiomatico
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos1 y el sistema axiomático de la lógica proposicional.
Explicación:
Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:
Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.
Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.
Componentes de un sistema axiomático formal
Deduction architecture.png
Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos:
Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye:
Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores
Un conjunto de símbolos para designar variables
Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).
Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones.
Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones.
Una gramática formal que incluirá:
Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.
Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal.
Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deducción.
Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.