Expesiones de la forma ax=c
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
1 ECUACIONES ALGEBRAÕCAS
Una ecuaciÛn es una expresiÛn de la forma a = b donde tanto a como b son
expresiones de caracter algebraÌco y al menos en una de ellas hay uno m·s
tÈrminos deconocidos.
Ejemplo 1 3x + 17 = 21;
x+6
11 =
2x4
x+1 ; x + y + z = 6; 4x
3 7x + 5 =
2x
2 + 3;
p
x + 5 = x 1:
1.1 Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones en donde los tÈrminos desconocidos se encuentran combinados
con expresiones conocidas mediante adiciones, multiplicaciones, exponentes o
radicales son ecuaciones algebraÌcas: 3x + 17 = 21;
x+6
11 =
2x4
x+1 ; x + y + z =
6; 4x
3 7x + 5 = 2x
2 + 3;
p
x + 5 = x 1:
Hay ecuaciones trigonomÈtricas, en donde sobre los tÈrminos desconocidos
se aplican expresiones de caracter trigonomÈtrico: cos x + tan x = 2;
2
1sin x =
sec x:TambiÈn hay ecuaciones de caracter exponencial o logarÌtmico: 2
x + 1 =
5; log2
(x + 3) = 1
1.2 SoluciÛn de ecuaciones
Solucionar una ecuaciÛn implica determinar los valores de los tÈrminos desconocidos para los cuales la expresiÛn a = b resulta verdadera. Es necesario conocer
el conjunto de referencia con el cual se est· trabajando, la ecuaciÛn 5x + 6 = 2
no tiene soluciÛn si el conjunto de referencia es el conjunto de los n˙meros naturales, o el de los n˙meros enteros: no hay ning˙n n˙mero natural o entero
que multiplicado por cinco y sumado con seis, dÈ como resultado dos. Por el
contrario, si el conjunto de referencia es el conjunto de los n˙meros racionales o
de los reales, la ecuaciÛn tiene soluciÛn: x =
4
5
2 Q R: Mientras no se diga
lo contrario, el conjunto de referencia ser· el conjunto de los n˙meros reales.
La ecuaciÛn algebraÌca m·s simple es la ecuaciÛn de primer grado con una
incognita, es una ecuaciÛn que tiene la estructura ax + b = c donde a; b; c 2 R:
Para solucionar una ecuaciÛn de este tipo se hacen uso de las propiedades
que hacen del conjunto de los n˙meros reales un cuerpo:
ax + b = c ) ax + b + (b) = c + (b) por que la propiedad uniforme con
relaciÛn a la adiciÛn me permite sumar una misma cantidad a ambos tÈrminos de
una igualdad sin que Èsta se altere. ax+ (b + (b)) = c+ (b) ) ax+ 0 = cb
ya que todo n˙mero real tiene un inverso aditivo y la suma de un n˙mero con
su inverso es cero, ax + 0 = c b ) ax = c b porque la propiedad modulativa
de la adiciÛn asÌ lo permite, a
1ax = a
1
(c b) gracias a que la propiedad
uniforme con relaciÛn a la multiplicaciÛn permite multiplicar por una misma
cantidad ambos tÈrminos de una igualdad sin que Èsta se altere. 1x = a
1
(c b)
porque al multiplicar un n˙mero por su inverso multiplicativo el resultado es 1:
1x = a
1
(c b) ) x = a
1
(c b) por ser el 1 el mÛResumiendo:
ax + b = c
ax + b + (b) = c + (b)
ax + (b + (b)) = c + (b)
ax + 0 = c b
ax = c b
a
1
ax = a
1
(c b)
1x = a
1
(c b)
x = a
1
(c b)
No siempre una ecuaciÛn de primer grado est· escrita explicÌtamente en la
forma ax + b = c; para determinar su soluciÛn se requiere un previo proceso
algebraÌco de simpliÖcaciÛn .
Ejemplo 2 2
z + 1
+
3
2z 3
=
6z + 1
2z
2 z 3
factorizemos el denominador del
tÈrmino de la derecha: 2
z + 1
+
3
2z 3
=
6z + 1
(z + 1) (2z 3) al encontrar denominadores distintos es necesario reducir todas las expresiones a un denominador com˙n, el cual en este caso es (z + 1) (2z 3) )
2
z + 1
+
3
2z 3
=
6z + 1
(z + 1) (2z 3) se transforma en:
2 (2z 3)
(z + 1) (2z 3) +
3 (z + 1)
(2z 3) (z + 1) =
6z + 1
(z + 1) (2z 3)
cuando todos los tÈrminos tienen el mismo denominador, siempre y cuando sea
distinto de cero, este se puede eliminar, gracias a la propiedad uniforme, en este
caso obtenemos:
2 (2z 3) + 3 (z + 1) = 6z + 1 )
4z 6 + 3z + 3 = 6z + 1 )
7z 3 = 6z + 1 ) z = 4:
1.3 La EcuaciÛn de segundo grado
Toda expresiÛn de la forma ax2 + bx + c = 0 con a; b; c 2 R y a 6= 0; es una
ecuaciÛn de segundo grado con una incognita, resolver una ecuaciÛn de este tipo,
en el conjunto de los n˙meros reales, que es el conjunto de referencia, implica
encontrar n˙meros reales que cumplan la condiciÛn dada.
Para encontrar una soluciÛn vamos a emplear las p
reales, mencionadas anteriormente:
ax2 + bx + c = 0 )
x
2 +
b
a
x +
c
a
= 0 )
x
2 +
b
a
x = 0
c
a
)
x
2 + 2
b
2a
x =
c
a