Evaristo y Josefina comparten un pastizal; ellos quieren cercar una superficie rectangular para cuidar a su ganado. Si cuentan con 800m de alambrada para cercar el terreno y quieren ocupar la mayor área posible. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?
i) Encuentra una función que modele el problema.
ii) ¿Cuál es la mayor cantidad de terreno que pueden cercar?
Respuestas a la pregunta
Las dimensiones del terreno a cercar son:
Largo = ancho = 200 m
i) La función que modela el problema de cercar la superficie rectangular es:
A = 400x - x²
ii) La mayor cantidad de terreno que se cercara es:
40000 m²
¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?
El área de un rectángulo es el producto de sus lados.
A = largo × ancho
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
Sustituir;
P = 800 m
800 = 2x + 2y
Siendo;
- x: largo
- y: ancho
Despejar y;
2y = 800 - 2x
y = 400 - x
Sustituir y en A;
A = (x)(400 - x)
A = 400x - x²
Aplicar derivada;
A' = d/dx(400x - x²)
- d/dx(400x) = 400
- d/dx(x²) = 2x
sustituir;
A' = 400 -2x
Igualar a cero;
0 = 400 - 2x
Despejar x;
2x = 400
x = 400/2
x = 200 m
Sustituir;
y = 400 - 200
y = 200 m
El área máxima es:
A(max) = 400(200) - (200)²
A(max) = 40000 m²
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