Question

Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.

∫_0^∞▒〖x^2 e^(-x) dx〗

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos inicialmente buscar el dominio de f(x), tenemos que:

f(x) = x²·e⁻ˣ

Podemos observar que nuestra función tiene como dominio todos los reales, de tal manera que solamente es impropia porque un limite de integración es infinito. Tenemos:

∫₀∞  x²·e⁻ˣ dx

Reemplazamos al infinito por una variable, tenemos que:

Lim(a-∞ ∫₀ᵃ  x²·e⁻ˣ dx )

Tenemos que resolver la integral, para ello aplicamos por partes:

I = u·v - ∫v·du

• u = x²  → du = 2x dx
• V = ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ

Sustituimos y tenemos que:

I = x²·(-e⁻ˣ) - ∫-e⁻ˣ · 2x ·dx

I = x²·(-e⁻ˣ) + 2∫e⁻ˣ · x ·dx

Debemos volver a aplicar por partes, tenemos que:

I₂ = ∫e⁻ˣ · x ·dx

I₂ = u·v - ∫ v· du

• u = x  → du = dx
• v = ∫e⁻ˣ dx  entonces v = -e⁻ˣ

I₂ = -x·e⁻ˣ + ∫ e⁻ˣ dx

I₂ = -xe⁻ˣ - e⁻ˣ

Sustituimos en la integral original y tenemos que:

I =  x²·(-e⁻ˣ) - 2xe⁻ˣ - 2e⁻ˣ

Sacamos factor e⁻ˣ, tenemos:

I = -e⁻ˣ·(x² + 2x + 2)

Ahora evaluamos en nuestros limites de integración:

I = -e⁻ˣ·(x² + 2x + 2) |₀ ᵃ

I = -e⁻ᵃ·(a² + 2a + 2) -(-e⁻⁰·(0² + 2·0 + 2))

I = -e⁻ᵃ·(a² + 2a + 2) + 2

Sacamos ahora el limite:

I = lim(a₋∞) -e⁻ᵃ·(a² + 2a + 2) + 2

Resolviendo vemos que eˣ crece más rápido que el polinomio cuadrático, por tanto se tiene que:

I = 0 + 2 = 2

Por tanto la integral converge y su valor es 2.