Question

Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen
∫_(-∞)^∞dx/(x^2+2x+2)

Answer 1

Bueno, como te darás cuenta el denominador no tiene raíces  reales, sino, imaginarias...entonce sprocedemos a usar una artificio llamado "completar el cuadrado"...entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dx}{x^{2}+2x+2}}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dx}{(x+1)^{2}+1}}$

si consideramos una sustitución

$u=x+1\\ du=dx$

entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{du}{u^{2}+1}}=\arctan(u)=\left(\arctan(x+1)\right|_{-b}^{b}$

ahora, si..debemos hallar el límites...cuando b tiende a los diferentes límties...

$\displaystyle\lim_{b\rightarrow\infty}{\arctan(b+1)}=\frac{\pi}{2}\\\lim_{b\rightarrow-\infty}{\arctan(b+1)}=-\frac{\pi}{2}$

lo único que debes tener en cuenta es la gráfica de la funcion arcotangente..para poder armar ese límite...pero es obvio..la tangente es una especie de curva que pasa por el centro de -pi medios hasta pi medios...entonces su funcion inversa ahora el dominio será desde -infinito hasta +infinito...y el recorrido...va desde -pi medios hasta pi medios...y por eso son esos límites, bien, entonces,

$...=(\arctan(b+1)-\arctan(b+1))=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

y ese es el área bajo la curva., por lo tanto es convergete.