Matemáticas, pregunta formulada por nanitoelbacanop7uw5a, hace 1 año

evaluar la integración dada
necesito ayuda por favor, solo la #4 por favor ayuda

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Contestado por aprendiz777
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Respuesta:

\mathbf{\display\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}\,dx}=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C}


Explicación paso a paso:

La integral a resolver es:


\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx


Luego realizamos el siguiente cambio:


u=5x\Rightarrow du=5dx\\\Rightatrow \int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx=\frac{1}{5}\int{\frac{du}{1+\cos(u)}}


Nuevamente realizamos los siguientes cambios:


\tan(u/2)=t\Rightarrow u=2\tan^{-1}(t)\\du=\frac{2dt}{1+t^{2}}\,\,,\cos(u)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}


Sustituyendo dichos cambios en la integral anterior nos queda:


\frac{1}{5}\int{\frac{du}{1+\cos(u)}}=\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}}


Desarrollando y Simplificando se tiene:


\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{\frac{1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}}}=\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{\frac{2}{1+t^{2}}}}=\\\\=\frac{1}{5}\int{\frac{2dt(1+t^{2})}{2(1+t^{2})}}=\frac{1}{5}\int{dt}


Resolviendo:


\frac{1}{5}\int{dt}=\frac{1}{5}t+C


Deshaciendo el cambio de t=\tan(u/2) nos queda:


\frac{1}{5}t+C=\frac{1}{5}\tan(u/2)+C


Deshaciendo el cambio u=5x


\frac{1}{5}\tan(u/2)+C=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C


Así


\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C


Saludos.






nanitoelbacanop7uw5a: Muchas gracias, te agradezco mucho. Saludos
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