Question

Evaluar la función de la integral de línea ∮(x^2-y^2) dx, ∮(x^2-y^2) dy y ∮(x^2-y^2) ds donde C esta dado por x=12 cos⁡ (t ), y=12 sen t en un intervalo de 0 ≤ t ≤ 2π.

Answer 1

1. ya que en todos hay x^2-y^2 empecemos por esa llevándola en términos de t

$x^2-y^2=(12\cos t)^2-(12\sin t)^2=144(\cos^2 t-\sin^2 t)=144\cos(2t)$

2. Luego hallemos las diferenciales dx, dy , ds

$dx = \dfrac{dx}{dt}\cdot dt=-12\sin t~dt\\ \\ \\dy=\dfrac{dx}{dt}\cdot dt=12\cos t~dt\\ \\ \\ds = \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}~dt= 12dt$

3. Finalmente las integrales

$\displaystyle\\\oint_Cx^2-y^2~dx=\int_{0}^{2\pi}144\cos(2t)\cdot (-12\sin t)dt=0\\ \\\oint_Cx^2-y^2~dy=\int_{0}^{2\pi}144\cos(2t)\cdot (12\cos t)dt=0\\ \\\\\oint_Cx^2-y^2~ds=\int_{0}^{2\pi}144\cos(2t)\cdot 12 dt=0$