Question

Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta (Para su solución no utilizar la regla L´Hopital).



Estudiante 4 lim┬(x→0)⁡〖 tan⁡(4x)/tan⁡(9x)

Answer 1

El límite de la expresión trigonométrica mostrada es 4/9.

¿Cómo hallar el límite de la función trigonométrica?

Podemos, en la expresión que tenemos, poner las tangentes en función de los senos y los cosenos:

$\lim_{x \to 0} \frac{tan(4x)}{tan(9x)}= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{sen(4x)}{cos(4x)}}{\frac{sen(9x)}{cos(9x)}}=\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{sen(9x)}\frac{cos(9x)}{cos(4x)}$

Podemos aplicar la propiedad del producto de límites y separar la expresión anterior, sabiendo que los cosenos tienden a 1:

$\lim_{x \to 0}\frac{tan(4x)}{tan(9x)}= \lim_{x \to 0}\frac{sen(4x)}{sen(9x)}. \lim_{x \to 0}\frac{cos(9x)}{cos(4x)}=\lim_{x \to 0}\frac{sen(4x)}{sen(9x)}.1\\\\=\lim_{x \to 0}\frac{sen(4x)}{sen(9x)}$

Sobre esta expresión, podemos multiplicar y dividir por 4x y también multiplicar y dividir por 9x, esto lo hacemos para que queden expresiones de tipo $\frac{sen(kx)}{kx}$, cuyo límite sabemos que es igual a 1. Haciendo esto queda:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{sen(9x)}= \lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{sen(9x)}\frac{4x}{4x}\frac{9x}{9x}$

Si reordenamos los factores en esta expresión queda:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{sen(9x)}= \lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{4x}.\frac{9x}{sen(9x)}.\frac{4x}{9x}\\\\=\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{4x}.\lim_{x \to 0}\lim_{x \to 0}\frac{9x}{sen(9x)}.\lim_{x \to 0}\frac{4}{9}=\frac{4}{9}$

Más ejemplos de límites trigonométricos en https://brainly.lat/tarea/2265019

#SPJ1