Question

Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su respuesta (Para su solución no utilizar la regla L´Hopital).

$\lim_{x \to 0} \frac{tan(4x)}{tan(9x)}$

Answer 1

Tenemos que, tomar él cuenta el siguiente límite trigonométrico dado por $\lim_{x \to 0} \frac{tan(4x)}{tan(9x)}$ el cual da como resultado $4/9$

Procedimiento para resolver un límite trigonométrico

Vamos a usar las siguientes relaciones dadas con límites trigonométricos como identidades trigonométricas

• $tan(ax) = \frac{sen(ax)}{cos(ax)}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{sen(ax)}{ax} = 1$

Por lo tanto, vamos a tener el siguiente desarrollo para el límite trigonométrico

                                            $\lim_{x \to 0} \frac{tan(4x)}{tan(9x)}$

                                             $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{tan(4x)}{x}}{\frac{tan(9x)}{x}}$

                                            $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sen(4x)}{cos(4x)}\frac{1}{x}}{\frac{sen(9x)}{cos(9x)}\frac{1}{x}}$

                                              $\frac{\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{sen(9x)}{x}}$

El límite de una división es igual a evaluar el mismo límite en el numerador y el denominador

                                             $4\frac{\lim_{x \to 0} \frac{sen(4x)}{x}}{9\lim_{x \to 0} \frac{sen(9x)}{9x}} = \frac{4}{9}$

En consecuencia, tomar él cuenta el siguiente límite trigonométrico dado por $\lim_{x \to 0} \frac{tan(4x)}{tan(9x)}$ el cual da como resultado $4/9$

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