Question

Estudios realizados confirman que el nivel diario promedio de monóxido de carbono
en el aire, en partes por millón, en una ciudad, está relacionada con la población P expresadaen miles de habitantes segun
$c(p) = \sqrt{ \frac{3p ^{2} }{2} + 12.7}$
Asimismo, la población cambia según el tiempo segun la función
$p(t)= 2.3 + 1.8t ^{2}$
Donde t expresa años.
A partir de estos datos:
a). Brindar la opinion si es pertinente reemplazar la función P(t) dentro de la función que describe la contaminación. Justificar
b). Calcular la población cuando transcurren 10 años
c). Determinar las razobes de cambio
$\frac{dc}{dp}$
y
$\frac{dp}{dt}$
d). Calcular el ritmo de cambio del nivel de monóxido de carbono cuando transcurren 10 años


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Answer 1

Hola!

Vamos uno por uno:

a) Si lo que buscas es cuanto aumenta la contaminación con el tiempo, si es pertinente. Si despejamos la p(t) en c(p) estaríamos haciendo que c quedara en función de el tiempo, así que nos diría la contaminación dependiendo del tiempo, y no de las personas.

b)Vamos a despejar t=10 en la ecuacion

$p(t)=2.3+1.8t^{2}$

$p(10)=2.3+1.8(10)^{2}$

$p(10)=2.3+1.8*100$

$p(10)=182.3$

Habrian 182.3 miles de personas, o 182300 personas.

c) Para esto vamos a tener que derivar

dc/dp

$c(p)=\sqrt{\frac{3p^{2} }{2}+12.7 }$

$c(p)'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{3p^{2} }{2}+12.7 } } *3p=\frac{3p}{2\sqrt{\frac{3p^{2} }{2}+12.7 } }$

dp/dt

$p(t)=2.3+1.8t^{2}$

$p(t)'=3.6t$

Se me hace un poco largo explicarte todo lo de derivacion, por eso te sugiro que recuerdes las reglas basicas de derivacion

d) Ahora para calcular la razon de cambio de la contaminacion con el tiempo, vamos a despejar a p(t) en c(t) y luego derivamos:

$c(p)=\sqrt{\frac{3p^{2} }{2}+12.7 }$

$c(p)=\sqrt{\frac{3(2.3+t^{2})^{2} }{2}+12.7 }$

$c(t)=\sqrt{\frac{3(5.29+4.6t^{2}+t^{4})  }{2}+12.7 }$

$c(t)=\sqrt{\frac{(21.16+13.8t^{2}+3t^{4})  }{2}+12.7 }$

Ahora derivamos:

$c(t)'=\frac{12t^{3}+27.2t }{\sqrt{\frac{(21.16+13.8t^{2}+3t^{4})  }{2}+12.7 }}$

Y por ultimo, despejamos los 10 años

$c(10)'=\frac{12(10)^{3}+27.2(10) }{\sqrt{\frac{(21.16+13.8(10)^{2}+3(10)^{4})  }{2}+12.7 }}$

Y eso nos da que

c(10)'=11.74 partes por millon

Espero te sirva. saludos!