Question

Estudio de caso 12
Una empresa dedicada a la fabricación de bolsas de plástico tiene tres máquinas (A, B y C) para ello. La máquina A realiza 25% de la producción de bolsas; la maquina B, 35%, y la maquina C, 40%. Se ha determinado que cuando las bolsas son hechas por la maquina A, 5% tiene defectos; de la máquina B, 10% los tiene, y de la maquina C, 3%. De acuerdo con estos datos:
a. Realiza el diagrama de árbol correspondiente.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa, elegida al azar, esté defectuosa?
c. Si una bolsa está defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la maquina A? ¿Por la maquina B? ¿Y por la maquina C?

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

a) Diagrama de árbol:

                                              →   Bolsas defectuosas 0,05

Máquina A → Produce →  0,25

                                               →   Bolsas defectuosas 0,10

Máquina B → Produce   0,35

                                              →   Bolsas defectuosas 0,03

Máquina C → Produce   0,40

b) Probabilidad de que una bolsa, elegida al azar, esté defectuosa: 0,0595.

c) Probabilidad de que haya sido producida por la maquina A:

¿Por la maquina B? : 0,5882.

¿Y por la maquina C? : 0,2017.

◘Desarrollo:

Aplicamos la teoría de la probabilidad Total:

P(A)=∑P(A∪Bi)=∑P(Bi)*P(A\Bi)

Sustituyendo tenemos:

P(D)= P(A)*P(D\A)+P(B)*P(D\B)+P(C)*P(D\C)

P(D)= 0,25*0,05+0,35*0,10+0,40*0,03

P(D)= 0,0595

c) Probabilidad de que haya sido producida por la maquina A

Aplicamos el Teorema de Bayes:

$P(Bi\setminus A)=\frac{P(Bi\cap A)}{P(A)}$

Sustituyendo tenemos:

$P(A/D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}$

$P(A/D)=\frac{0,0125}{0,0595}$

$P(A/D)=0,21$

Probabilidad de que haya sido producida por la maquina B:

Aplicamos el mismo procedimiento anterior:

$P(B/D)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}$

$P(B/D)=\frac{0,035}{0,0595}$

$P(B/D)=0,5882$

Probabilidad de que haya sido producida por la maquina C:

$P(C/D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$

$P(C/D)=\frac{0,012}{0,0595}$

$P(C/D)=0,2017$