Matemáticas, pregunta formulada por dovacorzu, hace 1 año

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x)=4x+x^2en los intervalos [-2,2;-2]y[-2;-18]

Respuestas a la pregunta

Contestado por seeker17
172
Hola, haber tienes que analizar la monotonía en cada intervalo, primero escojamos el intervalo [-2,2;-2], entonces empezas suponiendo x_{1},x_{2}\in I, tal que,

x_{1}\ \textless \ x_{2}

ahora, necesitas tener la "equis", en un solo lugar no en dos, entonces,
 
f(x)=4x+x^{2}=(x+2)^{2}-4

listo, ahora sí hay que arma la función, enotnces,

x_{1}\ \textless \ x_{2}\\x_{1}+2\ \textless \ x_{2}+2\\(x_{1}+2)^{2}\ \textgreater \ (x_{2}+2)^{2}\\(x_{1}+2)^{2}-4\ \textgreater \ (x_{2}+2)^{2}-4\\f(x_{1})\ \textgreater \ f(x_{2})

por lo tanto decimos que, la función es decreciente, en ese intervalo, ahora en segundo intervalo, tienes,

x_{1}\ \textless \ x_{2}\\x_{1}+2\ \textless \ x_{2}+2\\(x_{1}+2)^{2}\ \textless \ (x_{2}+2)^{2}\\(x_{1}+2)^{2}-4\ \textless \ (x_{2}+2)^{2}-4\\f(x_{1})\ \textless \ f(x_{2})

entonces, la función es creciente...

Y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas, adicional toma en cuenta que el sentido de la desigualdad cambia en el primer intervalo porque x_{1},x_{2} son negativos por pertenecer al intervalo negativo, en el segundo caso, al momento de elevar al cuadrado no cambia el sentido de la desigualdad porque x_{1},x_{2} son positivos por pertenecer a un intervalo puramente positivos.

Saludos,
Santiago Seeker

seeker17: Huy cometi un error, porque el segundo intervalo es desde [-2,-18], entonces estás en un intervalo puramente negativo entonces al momento de elevar al cuadrado SI cambia el sentido de la desigualdad...entonces es decreciente¡¡...si ubiese sido un intervalo positivo ahí si, no cambiaba el sentido de la desigualdad...jeje
Contestado por gedo7
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RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos buscar los puntos máximos y mínimos de la función, para ello derivaremos, tenemos:

f(x) = 4x + x²

f'(x) = 4 + 2x

f''(x) = 4

Por tanto, buscamos el punto critico.

f'(x) = 0

4+ 2x = 0

x = -2

Observemos que la segunda derivada siempre será positiva, por tanto, x = -2 es un mínimo. Lo que nos indica que:

  • (-∞,-2] → DECRECE
  • [-2, +∞) → CRECE

Ahora, podemos concluir que:

  • [-2.2,-2] →DECRECE
  • [-2,18] → CRECE

Adjunto podemos ver la gráfica.

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