Question

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de planos:a. n: 3x - y 2z = 0 n': 6x - 2y 4z - 1 = 0b. n: 2x - y 3z 4 = 0 n': x 3y - 22 1 = 0C. n: 5x - 2y 3z=0 n': 6x - 2y 4z - 1 = 0d. n: Z 1=0 n': z = 1​

Answer 1

Las posiciones relativas entre planos son:

a. Paralelos

b. Secantes

c. Secantes

d. Paralelos

Explicación:

La posición relativa entre dos planos pueden ser:

• coincidentes es cuando tienen un punto en común.
• paralelos es cuando no tienen un punto en común.
• secantes es cuando tienen una recta en común.

Dadas las ecuaciones implícitas de los planos se puede determinar;

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

1. Si, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = d₁/d₂ ⇒ coincidentes
2. Si, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ≠ d₁/d₂ ⇒ paralelos
3. Si, no se cumple ninguna de las anteriores los planos so  secantes.

a. n: 3x - y + 2z = 0

   n': 6x - 2y+ 4z - 1 = 0

• a₁/a₂ = 3/6 = 1/2
• b₁/b₂ = 1/2
• c₁/c₂ = 2/4 = 1/2
• d₁/d₂= 0/1  

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ≠ d₁/d₂ ⇒ paralelos

b. n: 2x - y + 3z+ 4 = 0

   n': x +3y - 2z + 1 = 0

• a₁/a₂ = 2/1 = 2
• b₁/b₂ = -1/3
• c₁/c₂ = -3/2
• d₁/d₂= 4/1

Los planos son secantes.

c. n: 5x - 2y + 3z=0

   n': 6x - 2y + 4z - 1 = 0

• a₁/a₂ = 5/6 = 2
• b₁/b₂ = -2/2
• c₁/c₂ = -3/4
• d₁/d₂= 0/1

Los planos son secantes.

d. n: z + 1=0

   n': z = 1​

• c₁/c₂ = 1/1
• d₁/d₂= -1/1

c₁/c₂ ≠ d₁/d₂ ⇒ paralelos