Question

Estoy cursando cálculo vectorial, especificamente integrales doble, en esta oportunidad se me presenta este ejrcicio que se me ha dificultado un poco realizar, si alguien puede ayudarme, más que una respuesta, explicarme, le agradecería.

Calcular la siguiente integral de línea
∫_c▒〖3xy dx + (〖4x〗^2-3y) dy〗 sobre la curva c que está compuesta por el segmento rectilíneo que va de (0,3) a (3,9) y luego la parábola y=x^2 de (3,9) a (3,11).

Answer 1

Explicación:

Para la solución de este tipo de problemas requieres comprender la aplicación de los teoremas descritos para su solución, este en especial puede resolverse de varias formas siempre llegando a la misma solución; sin embargo, el comprender los teoremas te facilitará el análisis y tomar una decisión eficiente de que método utilizar.

Para este ejercicio se tienen los siguientes datos:

• Curva C : $y=x^{2}$
• Punto inicial : (0,3)
• Punto final : (3,11)

donde el punto (3,11) no corresponde a la gráfica de la curva en R² pero que la ecuación podemos comprenderla como la proyección en R² de una curva en R³.

Por lo que, se puede definir como una integral de línea sobre una curva de R² . Sea C una curva suave contenida en un disco abierto B de R² y que tiene la ecuación vectorial: $\vec{R} (t) = f(t) \: \hat{\i} + g(t) \: \hat{\j}$ tal que $a \leq t \leq b$.

Sea $\widehat{F}$ un campo vectorial sobre B definido por:

$\widehat{F} (x,y) = M(x,y) \: \hat{\i} + N(x,y) \: \hat{\j}$

donde M y N son continuas en B.

Si se emplea la notación de forma diferencial, la integral de línea de $M(x,y) \: dx + N(x,y) \: dy$ sobre C, se entiende como:

$W = \int \limits^{}_C {[ M(x,y) \: dx + N(x,y) \: dy ]}$

o

$W = \int \limits^b_a {[ M(f(t),g(t)) \cdot f'(t) + N(f(t),g(t)) \cdot g'(t) ]} \: dt$

Por lo que hay que entender que todo se debe generar a partir de una misma variable.

Por tanto, la solución sería:

$\int \limits^{}_C {[ 3xy \: dx + (4x^{2} - 3y) \: dy ]}$

de la curva $y=x^{2} \Rightarrow dy = 2x \: dx$

$M(x,y) = 3xy \Rightarrow M(x) = 3x(x^{2}) = 3x^{3}$

$N(x,y) = 4x^{2} - 3y \Rightarrow N(x) = 4x^{2} - 3(x^{2}) = x^{2}$

Al sustituir y efectuar calculo:

$W = \int \limits^3_0 { 3x^{3} \: dx + x^{2} \: (2x \: dx) }$

$W = \int \limits^3_0 { 3x^{3} \: dx + 2x^{3} \: dx }$

$W = \int \limits^3_0 { 5x^{3} \: dx }$

$W = 5 \int \limits^3_0 { x^{3} \: dx }$

$W = 5 [ \frac{x^{3+1}}{3+1} ] \Big|_0^3$

$W = 5 [ \frac{x^{4}}{4} ] \Big|_0^3$

$W = 5 [ \frac{(3)^{4}}{4} ] - 5 [ \frac{(0)^{4}}{4} ]$

$W = 5 [ \frac{81}{4} ] \: J$

$W = 101.25 \: J$

Respuesta:

Por tanto:

$\therefore \int \limits^{}_C {[ 3xy \: dx + (4x^{2} - 3y) \: dy ]} = 101.25 \: J$