Question

Estimar la altura "h" del puente peatonal considerando los siguientes datos.
La respuesta es uno de los dos incisos
IncisoA
$h = ( \frac{5}{2} + \sqrt{3})m$
Inciso B
$h = ( \frac{3}{2} + \sqrt{3})m$
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Answer 1

La altura  "h"  del puente peatonal es    $\bold{h~=~\sqrt{3}~+~\dfrac{5}{2}}$    metros. El inciso A  es el acertado.

¿Podemos estimar  h  usando la razón trigonométrica tangente?

En la figura anexa se observan dos triángulos rectángulos que se generan con las posiciones adoptadas por la mira de observación. De igual forma se observa que la altura del puente peatonal es el cateto opuesto al ángulo de elevación en ambos triángulos más la altura del tripode de la mira de observación.

Vamos a usar las tangentes de los ángulos de elevación marcados en las dos posiciones de la mira para calcular la altura del puente:

$\bold{Tg(\alpha)~=~\dfrac{Cateto~opuesto}{Cateto~adyacente}}$

Ángulo de elevación en la primera posición de la mira:

$\bold{Tg(30^{o})~=~\dfrac{k}{d~+~2}}$

Ángulo de elevación en la segunda posición de la mira:

$\bold{Tg(45^{o})~=~\dfrac{k}{d}}$

Construimos un sistema de ecuaciones:

$\bold{\dfrac{\sqrt{3}}{3}~=~\dfrac{k}{d~+~2}}$

$\bold{1~=~\dfrac{k}{d}}$

Aplicamos el método de sustitución, despejando  k  de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera

d  =  k

$\bold{\dfrac{\sqrt{3}}{3}~=~\dfrac{k}{k~+~2}\qquad\Rightarrow\qquad\sqrt{3}(k~+~2)~=~3k\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\sqrt{3}k~=~k~+~2\qquad\Rightarrow\qquad k(\sqrt{3}~-~1)~=~2\qquad\Rightarrow\qquad k~=~\dfrac{2}{(\sqrt{3}~-~1)}}$

$\bold{h~=~k~+~\dfrac{3}{2}~=~\dfrac{2}{(\sqrt{3}~-~1)}~+~\dfrac{3}{2}~=~\dfrac{2(\sqrt{3}~+~1)}{(\sqrt{3}~-~1)(\sqrt{3}~+~1)}~+~\dfrac{3}{2}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{h~=~\dfrac{2(\sqrt{3}~+~1)}{(\sqrt{3})^2~-~(1)^2}~+~\dfrac{3}{2}~=~\sqrt{3}~+~1~+~\dfrac{3}{2}\qquad\Rightarrow\qquad h~=~\sqrt{3}~+~\dfrac{5}{2}}$

La altura  "h"  del puente peatonal es    $\bold{h~=~\sqrt{3}~+~\dfrac{5}{2}}$    metros. El inciso A  es el acertado.

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