Question

espacio muestral- aleatorio

Answer 1

Antes de empezar hay que señalar que has recortado el ejercicio sin incluir el nº total de estudiantes que están en ese salón y de donde se eligen 4 estudiantes de manera aleatoria.

Dejaremos eso para el final y nos centraremos en esos 4 estudiantes que se eligen.

Las opciones que tienen son dos: SÍ o NO consumen alguna fruta en el descanso.

Recordemos que el espacio muestral de un experimento son todos los casos posibles que pueden darse al realizar dicho experimento así que aquí nos toca echar mano de la combinatoria ya que hemos de repartir los "síes" y los "noes" entre los 4 estudiantes elegidos y de ahí saldrán los casos que pueden darse entre ellos, por ejemplo, si los estudiantes son A, B, C, D, uno de los casos que pueden ocurrir es:

• A diga que sí lleva la fruta
• B diga que no lleva la fruta
• C diga que no lleva la fruta
• D diga que sí lleva la fruta

O sea que para este caso concreto, la combinación sería  sí, no, no, sí y así puede comprobarse que el "sí"  y el "no", forzosamente han de repetirse.

Por tanto hay que usar el modelo combinatorio llamado:

COMBINACIONES CON REPETICIÓN DE 2 ELEMENTOS (sí y  no   que represento con la letra "m")  TOMADOS DE 4 EN 4  (los 4 estudiantes elegidos que represento con la letra "n")

(uso COMBINACIONES y no VARIACIONES ya que en estas últimas afecta el orden en que se asignan los elementos a variar para distinguir entre una y otra)

La fórmula por factoriales para calcularlo dice:

$CR\ _m^n=\dfrac{(m+n-1)!}{n!\ (m-1)!}$

Sustituyo los datos conocidos:

$CR\ _2^4=\dfrac{(2+4-1)!}{4!\ (2-1)!} =\dfrac{5!}{4!} =\dfrac{120}{24} =5$

Reservo ese resultado para usarlo al final.

Y ahora procede tener en cuenta el total de estudiantes que había en el salón y que no aparece en el texto que has insertado así que "me inventaré" que había 20 estudiantes en el salón.

Y ahora hay que volver a recurrir a la combinatoria ya que hemos de formar grupos de 4 estudiantes entre esos 20.

Para ello vuelvo a usar el mismo modelo combinatorio pero esta vez sin repetición ya que los elementos a combinar no pueden repetirse, es decir, no puedo elegir en un mismo grupo al mismo estudiante, comprendes?

Tendremos esto:

COMBINACIONES DE 20 ELEMENTOS TOMADOS DE 4 EN 4

La fórmula por factoriales para este modelo dice:

$C\ _m^n=\dfrac{m!}{n!\ (m-n)!} \\ \\ \\ C_{20}^4=\dfrac{20!}{4!\ (20-4)!}=\dfrac{20*19*18*17*16!}{4*3*2*1*16!} =\dfrac{116280}{24} =4.845\ grupos$

El razonamiento final es que a cada uno de esos grupos corresponden las 5 combinaciones de "síes" y "noes" calculadas antes así que solo queda multiplicar esas cantidades para conocer el espacio muestral del experimento.

4845 × 5 = 24.225 casos posibles forman el espacio muestral.

Te recuerdo que he contado con 20 estudiantes y que difícilmente va a coincidir con el dato de tu ejercicio pero no puedo adivinarlo porque no está en el texto.

Para la segunda pregunta no estoy seguro de la respuesta porque no me queda claro si la condición exigida "no más de dos de los estudiantes consumen alguna fruta en el descanso" se refiere al total de estudiantes del salón o solo a los cuatro que se han elegido aleatoriamente.

Así que esa parte no te la puedo resolver con garantía suficiente de que sea respuesta correcta.