escribir en que intervalo crees,decrece y en dónde es constante....xfa ayuda!
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
¿Cómo encuentro los intervalos donde una función crece o decrece con cálculo diferencial?
Los intervalos en los que una función está aumentando (o disminuyendo) corresponden a los intervalos donde su derivada es positiva (o negativa).
Así que si queremos encontrar los intervalos donde una función aumenta o disminuye, sacamos su derivada y la analizamos para encontrar dónde es positiva o negativa (¡lo cual es más fácil de hacer!).
¿Quieres aprender más sobre el cálculo diferencial y los intervalos donde crece o decrece una función? Revisa este video.
Ejemplo 1
Encontremos los intervalos donde f(x)=x^3+3x^2-9x+7f(x)=x
3
+3x
2
−9x+7f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7 crece o decrece. Primero, derivamos fff:
f'(x)=3x^2+6x-9f
′
(x)=3x
2
+6x−9f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9 [Muéstrame el cálculo completo.]
Ahora queremos encontrar los intervalos donde f'f
′
f, prime es positiva o negativa.
f'(x)=3(x+3)(x-1)f
′
(x)=3(x+3)(x−1)f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
f'f
′
f, prime interseca el eje xxx cuando x=-3x=−3x, equals, minus, 3 y x=1x=1x, equals, 1, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:
Evaluemos f'f
′
f, prime en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.
Intervalo Valor de xxx f'(x)f
′
(x)f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis Veredicto
x<-3x<−3x, is less than, minus, 3 x=-4x=−4x, equals, minus, 4 f'(-4)=15>0f
′
(−4)=15>0f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 fff es creciente. \nearrow↗\nearrow
-3<x<1−3<x<1minus, 3, is less than, x, is less than, 1 x=0x=0x, equals, 0 f'(0)=-9<0f
′
(0)=−9<0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 fff es decreciente. \searrow↘\searrow
x>1x>1x, is greater than, 1 x=2x=2x, equals, 2 f'(2)=15>0f
′
(2)=15>0f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 fff es creciente. \nearrow↗\nearrow
Así que fff es creciente cuando x<-3x<−3x, is less than, minus, 3 o cuando x>1x>1x, is greater than, 1 y decreciente cuando -3<x<1−3<x<1minus, 3, is less than, x, is less than, 1.
Ejemplo 2
Encontremos los intervalos donde f(x)=x^6-3x^5f(x)=x
6
−3x
5
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript crece o decrece. Primero, derivamos fff:
f'(x)=6x^5-15x^4f
′
(x)=6x
5
−15x
4
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript [Muéstrame el cálculo completo.]
Ahora queremos encontrar los intervalos donde f'f
′
f, prime es positiva o negativa.
f'(x)=3x^4(2x-5)f
′
(x)=3x
4
(2x−5)f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 4, end superscript, left parenthesis, 2, x, minus, 5, right parenthesis
f'f
′
f, prime interseca el eje xxx cuando x=0x=0x, equals, 0 y x=\dfrac52x=
2
5
x, equals, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:
Evaluemos f'f
′
f, prime en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.
Intervalo Valor de xxx f'(x)f
′
(x)f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis Veredicto
x<0x<0x, is less than, 0 x=-1x=−1x, equals, minus, 1 f'(-1)=-21<0f
′
(−1)=−21<0f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 21, is less than, 0 fff es decreciente \searrow↘\searrow
0<x<\dfrac520<x<
2
5
0, is less than, x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction x=1x=1x, equals, 1 f'(1)=-9<0f
′
(1)=−9<0f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 fff es decreciente \searrow↘\searrow
\dfrac52<x
2
5
<xstart fraction, 5, divided by, 2, end fraction, is less than, x x=3x=3x, equals, 3 f'(3)=243>0f
′
(3)=243>0f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 243, is greater than, 0 fff es creciente \nearrow↗\nearrow
Como fff disminuye antes de x=0x=0x, equals, 0 y después de x=0x=0x, equals, 0, también disminuye en x=0x=0x, equals, 0.
Por lo tanto, fff es decreciente cuando x<\dfrac52x<
2
5
x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction y creciente cuando x>\dfrac52x>
2
5
x, is greater than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction.
Comprueba tu comprensión
Explicación paso a paso: