Question

Escribe la ecuación para una elipse con centro en el origen, focos en (0,\pm\sqrt{62})(0,±
62
​
)left parenthesis, 0, comma, plus minus, square root of, 62, end square root, right parenthesis y covértices en (\pm5,0)(±5,0)left parenthesis, plus minus, 5, comma, 0, right parenthesis

Answer 1

La ecuación de la elipse cuyos vértices en el eje menor son los puntos  (-5, 0),  (5, 0)   y sus focos son  (0, -√62)  y  (0, √62),  es    

$\bold{25y^2~+~87x^2~-~2175~=~0}$

¿Cuál es la ecuación canónica de la elipse?

De la información aportada sabemos que el eje focal está en posición vertical, por lo que la ecuación canónica de la elipse viene dada por:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

• (h, k)  =  centro de la elipse
• a  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
• b  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

La longitud del eje menor es   10,  ya que los vértices se ubican en       (-5, 0)  y  (5, 0),  lo que implica que    b  =  5

La distancia entre los focos es   2√62,   ya que los focos se ubican en   (0, -√62)  y  (0, √62),  lo que implica que    c  =  √62

También se sabe que el punto medio del segmento de recta que une los focos es el punto centro de la elipse, en este caso    (h, k)  =  (0, 0)

Luego, para completar la información de la ecuación, calculamos la distancia    a     por la relación:

a²  =  b²  +  c²        ⇒      a²  =  (5)²  +  (√62)²  =  87

Sustituyendo en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(y~-~0)^2}{87}~+~\dfrac{(x~-~0)^2}{25}~=~1\qquad\Rightarrow}$

$\bold{25y^2~+~87x^2~-~2175~=~0}$

La ecuación de la elipse cuyos vértices en el eje menor son los puntos  (-5, 0),  (5, 0)   y sus focos son  (0, -√62)  y  (0, √62),  es    

$\bold{25y^2~+~87x^2~-~2175~=~0}$

La gráfica está anexa

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