Question

escribe la ecuación de la parábola cuyo foco es f(0, 2) y la directriz es y=-4​

Answer 1

Dado el foco y la directriz de una parábola , ¿cómo encontramos la ecuación de la parábola?

Si consideramos solamente las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, entonces la directriz será una recta horizontal de la forma y = c .

Digamos que ( a , b ) es el foco y digamos que y = c es la directriz. Digamos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier punto en la parábola.

Cualquier punto, ( x 0 , y 0 ) en la parábola satisface la definición de parábola, así que hay dos distancias para calcular:

• Distancia entre el punto en la parábola al foco.
• Distancia entre el punto en la parábola a la directriz.

Para encontrar la ecuación de la parábola, iguale esas dos expresiones y resuelva para y 0 .

Encuentre la ecuación de la parábola en el ejemplo anterior.

Distance entre el punto ( x 0 , y 0 ) y ( a , b ):

$\sqrt{ {(x0 - a)}^{2} + {(y0 - b)}^{2} }$

Distancia entre el punto ( x 0 , y 0 ) y la recta y = c :

$|y0 - c|$

(Aquí, la distancia entre el punto y la recta horizontal es la diferencia de sus coordenadas en y).

Iguale las dos expresiones:

$\sqrt{ {(x0 - a)}^{2} + {(y0 - b)}^{2} } = |y0 - c|$

Eleve al cuadrado ambos lados:

${(x0 - a)}^{2} + {(y0 - b)}^{2} = {(y0 - c)}^{2}$

Desarrolle la expresión en y 0 en ambos lados y simplifique:

${(x0 - a)}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} = 2(b - c)y0$

Esta ecuación en ( x 0 , y 0 ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).

Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco ( a , b ) y directriz y = c es:

${(x - a)}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} = 2(b - c)y$

Teniendo en cuenta la explicación anterior sólo nos queda reemplazar:

foco: (0;2)

directriz: y=-4

(x-0)^2+2^2+(-4)^2=2(2-(-4))y

x^2+4+16=2*6*y

x^2+20=12y

12y=x^2+20

y=x^2/12+20/12

y=x^2/12+5/3

Answer 2

La ecuación de la parábola cuyo foco es f(0,2) y directriz es y=-4 es: x²= 24(y-2)

¿Qué es la parábola?

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de una recta fija denominada directriz y de un punto fijo denominado foco.

Con el foco (0,2) y la directriz y= -4 se concluye que la parábola es de la ecuación (x-h)²= 4p(y-k)

Además del foco se tiene que h= 0 y k=2. De la directriz:

k-p= -4

p= k+4

p= 2+4

p=6

Por lo tanto, la ecuación es (x-h)²= 4p(y-k)

x²= 4(6)(y-2)

x²= 24(y-2)

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