Question

escribe la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (1,4) ​

Answer 1

Recordemos que la ecuación de una circunferencia se define como:

    $\overset{\sf{\vphantom{\Big|}Ecuaci\acute{o}n\ de\ la\ circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\qquad\sf{Donde}\qquad\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{(h,k): {\displaystyle Centro\ de\ la\atop\displaystyle \vphantom{\bigg|}circunferencia}\\\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{r:radio}\end{array}$

Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro.

El radio lo determinaremos hallando la distancia entre el centro y el punto.

                                $\begin{array}{c}\sf{d[C,B]=\sqrt{\left[\left(0\right)-\left(1\right)\right]^2+\left[\left(0\right)-\left(4\right)\right]^2}}\\\\\sf{d[C,B]=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-4\right)^2}}\\\\\sf{d[C,B]=\sqrt{1+16}}\\\\\boldsymbol{\boxed{\sf{d[C,B]=\sqrt{17}\ u}}}\end{array}$

La ecuación de la circunferencia, será:

                                    $\begin{array}{c}\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\sf{\left(x-\left(0\right)\right)^2+\left(y-\left(0\right)\right)^2=\left(\sqrt{17}\right)^2}\\\\\underset{\underset{\sf{\displaystyle Ecuaci\acute{o}n\ ordinaria}}{\displaystyle\downarrow}}{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{x^2+y^2=17}}}}}\end{array}$

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                           $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$