Question

Escribe el factor del polinomio p sabiendo que:
1 es raíz doble de P 4 es raíz triple de R
– 2 es raíz simple de P

Answer 1

Respuesta:

Al sustituir la variable del polinomio por un número se obtiene una expresión numérica cuyo resultado es el valor númerico del polinomio en ese punto. Por ejemplo, dado el polinomio p(x)=5x3−4x2+5x−1, el valor del polinomio cuando x=1, es p(1)=5⋅13−4⋅12+5⋅1−1=5. Entonces, se dice que el valor del polinomio p en el punto 1 es 5, y se escribe, p(1)=5.

El teorema del resto es un resultado interesante que relaciona el valor numérico de un polinomio con la división de polinomios. Afirma que al dividir un polinomio cualquiera p(x) entre x−a, siendo a un número cualquiera, el resto de dicha división es precisamente p(a). Así, en el caso del ejemplo anterior, se puede asegurar que el resto de la división de p(x)=5x3−4x2+5x−1 entre x−1 es p(1)=5.

Por otra parte, resulta que un polinomio es divisible por otro polinomio cuando la división entre ellos es exacta, es decir, cuando el resto de la división es 0. Por el teorema del resto, se puede asegurar que un polinomio p(x) es divisible por x−a, si p(a)=0. Al valor a que cumple dicha condición se le denomina raíz del polinomio p(x). Así pues, una raíz de un polinomio p(x) es un valor numérico a que cumple que p(a)=0.

El teorema del resto permite afirmar que estas dos afirmaciones son equivalentes:

a es una raíz del polinomio p(x).

p(x) es divisible entre x−a.

Por ejemplo, el polinomio p(x)=x2−1 tiene raíz x=1, ya que p(1)=0. Así pues, puede asegurarse que este polinomio también es divisible entre x−1. De la misma manera, este polinomio tiene otra raíz x=−1, ya que p(−1)=0. Así, puede asegurarse que dicho polinomio también es divisible entre x−(−1), es decir, entre x+1. Dado que p(x)=x2−1 es divisible entre x−1, su división debe tener resto 0. Al hacer la división, se obtiene:

x2−1x−1=x+1

de manera que, al pasar el denominador al otro miembro, ocurre: p(x)=x2−1=(x+1)(x−1).

Se habla de raíz doble cuando una raíz aparece exactamente dos veces en el listado de raíces de un polinomio. Por ejemplo, q(x)=(x+1)2 tiene una raíz doble, que es -1. Así, si un polinomio tiene una raíz doble a, significa que el polinomio es divisible por (x−a)2.

Explicación paso a paso: