Question

escribe al menos cinco ejemplos de sucesiones monótonas en la vida cotidiana o a los campos en los que se los utiliza y explica su funcionamiento​​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Hola! Déjame ayudarte

Sucesiones monótonas

Claramente, si {xn} es decreciente, para m,n ∈ N con m 6 n, tendremos xm > xn y, en particular, x1 > xn para todo n ∈ N, luego {xn} está mayorada.

Vemos también ahora que, si una sucesión es a la vez creciente y decreciente, ha de ser constante.

Usando la existencia de supremo e ínfimo, probamos enseguida el resultado clave de este tema, que muestra la utilidad de la monotonía para estudiar la convergencia de una sucesión. Teorema. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

De hecho: (i) Si {xn} es una sucesión creciente y mayorada, se tiene l´ım{xn} = sup{xk : k ∈ N} (ii) Si {xn} es decreciente y minorada, entonces l´ım{xn} = ´ınf{xk : k ∈ N}

Demostración: ༼ つ ◕_◕ ༽つ

Si {xn} es creciente y mayorada, pongamos β = sup{xk : k ∈ N}, para probar que {xn} → β.

Dado ε > 0, por definición de supremo existe m ∈ N tal que β−ε < xm . Pero entonces, para n > m se tendrá β−ε < xm 6 xn 6 β < β+ε , de donde |xn −β| < ε , como queríamos.

Para una sucesión {xn} decreciente y minorada, se puede razonar de manera análoga, o bien aplicar lo ya demostrado a la sucesión {−xn} que es creciente y mayorada. Ilustramos el teorema anterior con un ejemplo importante:

Para x ∈ R, con |x| < 1, se tiene: l´ım n→∞ x n = 0. Puesto que |x n | = |x| n para todo n ∈ N, tomando y = |x|, bastará comprobar que {y n} → 0. Al ser 0 6 y < 1, tenemos 0 6 y n+1 6 y n para todo n ∈ N.

Así pues, la sucesión {y n} es decreciente y minorada, luego convergente. Pongamos de momento L = l´ım{y n}, para probar que L = 0. Como {y n+1} es una sucesión parcial de {y n}, será también {y n+1} → L pero, por otra parte tenemos que {y n+1} = {y n y} → L y , luego L = L

Siendo y 6= 1, no queda más salida que L = 0, como queríamos. Veamos los casos no cubiertos por el resultado anterior.

Si |x| > 1, puesto que |1/x| < 1, sabemos ya que {1/x n} = {(1/x) n} → 0, luego la sucesión {x n} no está siquiera acotada.

Si |x| = 1, sabemos de sobra lo que le ocurre a la sucesión {x n}.

Espero haberte ayudado!!! :D