Question

Escriban entre que números naturales consecutivos está cada raíz.
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Answer 1

Respuesta:

$5<\sqrt{26}<6\qquad2<\sqrt[5]{36}<3\qquad 7<\sqrt{54}<8$

$8<\sqrt{75}<9\qquad9<\sqrt{83}<10\qquad 2<\sqrt[4]{68}<3$

Explicación paso a paso:

Si queremos acotar una raíz entre dos números naturales m y n podemos transformar el problema de esto:

$m<\sqrt x<n$

a esto:

$m^2<x<n^2$

elevando cada miembro de la relación al cuadrado.

Hacer esto hace más sencillo encontrar estos m y n ya que estamos más familiarizados con las potencias que con las raíces.

De la misma manera:

$m<\sqrt[5] x<n \to m^5<x<n^5$

$m<\sqrt[4] x<n \to m^4<x<n^4$

Entonces encontrar m y n tales que $m<\sqrt[] {26}<n$ se convierte en encontrar m y n tales que $m^2<26<n^2$. Recordando los cuadrados perfectos vemos que para m=5 y n=6 se cumple la relación. Por lo tanto $5<\sqrt[] {26}<6$

Al encontrar m y n tales que $m<\sqrt[5] {36}<n$ buscamos en su lugar m y n tales que $m^5<36<n^5$. Ahora:

$1^5=1\\2^5=32\\3^5=243$

de aquí observamos que $2^5<36<3^5$ por lo tanto $2<\sqrt[5] {36}<3$.

De manera similar procedemos con los otros.