Question

Escriba todas las permutaciones que pueden formarse con las letras de las palabras que se dan. a. Las letras de ROMA b. Las letras de VIVIR ¿Cuántas ha formado en cada caso? ¿Coincide el número con el que se obtiene por medio de las fórmulas que se han deducido en el desarrollo teórico?

Answer 1

Escriba todas las permutaciones que pueden formarse con las letras de las palabras que se dan.

• a. Las letras de ROMA
• b. Las letras de VIVIR

¿Cuántas ha formado en cada caso? ¿Coincide el número con el que se obtiene por medio de las fórmulas que se han deducido en el desarrollo teórico?

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En los dos casos hay que usar la fórmula combinatoria de PERMUTACIONES ¿Por qué?  Pues porque hemos de hacer grupos de elementos que implica incluir a todos ellos en cada grupo pero variando el orden.

El primer caso es el más simple porque las letras no se repiten. Son las cuatro letras distintas y en este caso la fórmula de las permutaciones es operar el factorial del número de elementos que son 4. Así pues...

P(4) = 4! = 4×3×2×1 = 24 permutaciones.

Veamos ahora si se cumple este número buscando de forma manual todas las permutaciones posibles:

1. ROMA
2. ROAM
3. RAOM
4. RAMO
5. RMAO
6. RMOA

En estas seis permutaciones he dejado la "R" como primera letra. Ya no hay más permutaciones con la "R" como primera letra.

Es obvio que si coloco la letra "O" en primer lugar y permuto las otras 3 letras, me saldrán otras seis permutaciones y lo mismo sucederá cuando coloque en primer lugar la "M" y luego la "A", por tanto con multiplicar esas primeras 6 permutaciones por las 4 letras que tiene la palabra, obtengo las 24 totales que son las que he calculado antes con la fórmula.

Con esto respondo parcialmente a la 2ª pregunta, es decir, por lo que se refiere a la primera palabra.

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Vayamos ahora con la 2ª palabra: VIVIR.

También nos pide calcular el total de permutaciones pero aquí hay que tener en cuenta que de las 5 letras, la "V" y la "I" están repetidas.

En este caso hay que aplicar una variante de la fórmula anterior ya que se trata de PERMUTACIONES CON REPETICIÓN y hemos de tener en cuenta, tanto el nº total de elementos a permutar (5, que en la fórmula es "m") como la cantidad de veces que se repite cada elemento que serán:

• V ... aparece 2 veces (para la fórmula será el elemento "a")
• I ... aparece 2 veces (para la fórmula será el elemento "b")
• R ... aparece 1 vez  (para la fórmula será el elemento "c")

Y la fórmula dice:

$P_m^{a,b,c...}=P_5^{2,2,1...}=\dfrac{5!}{2!*2!*1!} =\dfrac{5*4*3*2*1}{2*1*2*1*1} =\dfrac{120}{4} =30\ permutaciones$

De forma manual serían:

1. VIVIR
2. VIVRI
3. VIIVR
4. VIIRV
5. VIRIV
6. VIRVI
7. VVIIR
8. VVRII
9. VVIRI
10. VRVII
11. VRIVI
12. VRIIV

Estas serían todas las permutaciones posibles colocando la "V" al principio que es una de las que se repiten. Por pura lógica, si colocamos al principio la "I" que es la otra letra que se repite, obtendremos otras 12 permutaciones y sumarán un total de 24.

Finalmente habrá que obtener 6 permutaciones más colocando la "R" (que no se repite) al principio:

1. RVIVI
2. RIVIV
3. RVVII
4. RIIVV
5. RIVVI
6. RVIIV

Y ahí están las 6 que faltaban y que suman un total de 30, por tanto concluyo rematando la pregunta del final pues se puede afirmar que en los dos casos coincide el nº obtenido de manera manual con el nº obtenido de las fórmulas.

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

24

Explicación: Puedo formar V(4,4) ==> AMOR # ROMA ==> fundamental el orden, por lo tanto, como el conjunto universal - 4 -, coincide con los subconjuntos que debemos de formar - palabras de cuatro letras. Se tratará de V(4,4) = P(4) = 4! = 4.3.2 = 24 palabras distintas con las cuatro letras dadas.