Question

escriba la ecuación canónica de la elipse cuya distancia del foco a los extremos del eje mayor son iguales a 1 y 9

Answer 1

La ecuación canónica de la elipse de centro en el origen de coordenadas  (h, k)  =  (0, 0)    es:

Eje mayor horizontal:            $\bold{\dfrac{x^2}{25}~+~\dfrac{y^2}{9}~=~1}$

Eje mayor vertical:            $\bold{\dfrac{x^2}{9}~+~\dfrac{y^2}{25}~=~1}$

Ecuación canónica de la elipse

Eje mayor horizontal:            $\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

Eje mayor vertical:            $\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~=~1}$

donde

• (h, k)    centro de la elipse
• a          distancia del centro a cada vértice sobre el eje mayor
• b          distancia del centro a cada vértice sobre el eje menor

Relación de distancias

En la elipse se cumple que el cuadrado de la distancia del centro al vértice sobre el eje mayor  (a)  es igual a la suma de los cuadrados de las distancias desde el centro al vértice sobre el eje menor  (b)  y  desde el centro hasta el foco  (c)

a²  =  b²  +  c²

El planteamiento indica que la distancia del foco a los extremos del eje mayor son iguales a  1  y  9; es decir, hay una unidad del foco al vértice cercano  y nueve unidades al vértice del otro extremo. Si sumamos obtenemos el eje mayor y si dividimos entre  2  obtenemos la distancia  a:

2 a  =  1  +  9            ⇒            a  =  5

Desde cada foco hasta los vértices hay una unidad, entonces

2 c  =  2 a  -  2  =  2 (5)  -  2            ⇒            c  =  4

Conociendo  a  y  c  podemos hallar  b

(5)²  =  b²  +  (4)²            ⇒            b²  =  9            ⇒            b  =  3

El problema no indica la posición del eje mayor de la elipse ni el centro de la misma; así que, vamos a ubicar el centro en el origen de coordenadas

La ecuación canónica de la elipse de centro en el origen de coordenadas  (h, k)  =  (0, 0)    es:

Eje mayor horizontal:          

$\bold{\dfrac{(x~-~0)^2}{(5)^2}~+~\dfrac{(y~-~0)^2}{(3)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{x^2}{25}~+~\dfrac{y^2}{9}~=~1}$

Eje mayor vertical:            

$\bold{\dfrac{(x~-~0)^2}{(3)^2}~+~\dfrac{(y~-~0)^2}{(5)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{x^2}{9}~+~\dfrac{y^2}{25}~=~1}$