Matemáticas, pregunta formulada por giovannipm98, hace 1 año

Escriba el vector w=(1,1,1) como una combinación lineal de vectores en el conjunto: S{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)}


seeker17: Gracias, dentro de un rato ya te ayudo

Respuestas a la pregunta

Contestado por seeker17
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Buecas hacer una combinación lineal entre los tres vectores para obtener el vector w, entonces, supongamos escalares  \alpha,\beta,\gamma\in\Re, entonces

\displaystyle w=\alpha(1,2,3)+\beta(0,1,2)+\gamma(-1,0,1)\\\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\2\alpha\\3\alpha\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}0\\\beta\\2\beta\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-\gamma\\0\\2\gamma\end{array}\right]=  \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\3&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]

entonces, el problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones, que podemos hacerlo usando Gauus-Jordan,

\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&0\\3&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right]

entonces,

\displaystyle\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\2&1&0&1\\3&2&2&1\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{{\substack{F_{2}-2F_{1}\\F_{3}-3F_{1}}}}=\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\0&1&2&-1\\0&2&5&-2\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{F_{3}-2F_{2}}=\\\\\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&-1&1\\0&1&2&-1\\0&0&1&0\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{{\substack{F_{2}-2F_{3}\\F_{1}+F_{3}}}}=\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right]

finalmente ya tenemos los vlores de los escalares, entonces comprobemos,

(1,1,1)=(1)(1,2,3)+(-1)(0,1,2)+(0)(-1,0,1)=\\...=(1,2,3)+(0,-1,-2)=(1,1,1)

y como ves, efectivamente esas constante fomar combinación lineal del vector w, además podemos decir que son linealmente dependientes...y eso sería todo


giovannipm98: En el primer párrafo la operación de Gamma estaría mal no? Ya que gamma por uno te da gamma no 2gamma.
seeker17: ay cierto¡..jajaja....bueno ahí corrije el error lo siento
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