es URGENTEEE por favor Ayudaaaaaa!!! ... (con solución) gracias
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Respuestas a la pregunta
Contestado por
2
Hay que solucionar dichas ecuaciones.
ii)![x^{4}- x^{2} -x+ x^{3}=0 x^{4}- x^{2} -x+ x^{3}=0](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B4%7D-+x%5E%7B2%7D+-x%2B+x%5E%7B3%7D%3D0++)
Reordenamos y podemos sacar factor común:
![x^{4}+ x^{3}- x^{2} -x=0 \\ \\ x \underbrace{(x^{3}+ x^{2} -x-1)}_{\boxed{ \text{polinomio 3er grado}}}=0 x^{4}+ x^{3}- x^{2} -x=0 \\ \\ x \underbrace{(x^{3}+ x^{2} -x-1)}_{\boxed{ \text{polinomio 3er grado}}}=0](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B4%7D%2B+x%5E%7B3%7D-+x%5E%7B2%7D+-x%3D0+%5C%5C++%5C%5C+x+%5Cunderbrace%7B%28x%5E%7B3%7D%2B+x%5E%7B2%7D+-x-1%29%7D_%7B%5Cboxed%7B+%5Ctext%7Bpolinomio+3er+grado%7D%7D%7D%3D0+++)
Al polinomio de tercer grado podemos factorizarlo aplicando división sintética. Se colocan los coeficientes en forma de horizontal (están en negrita):
1 1 -1 -1 |
|-------------------------
Luego, se prueba con un número (por ejemplo en este caso escojo el 1 que está marcado con ⁽¹⁾).
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
|-----------------------
Una vez que lo colocamos en el lado superior izquierdo empezamos la operación. Para el primer número bajamos el primer coeficiente en ⁽²⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾
Luego multiplicamos ese valor por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y ese resultado me da 1 ⁽³⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾
Ahora sumo verticalmente el 1 colocado en ⁽³⁾ más el 1 de arriba, que me da dos. Esto lo coloco en ⁽⁴⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾
Nuevamente este 2 lo multiplico por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y obtengo como resultado otro dos que lo coloco en ⁽⁵⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾
Dicho dos lo sumo con el -1 que está arriba y obtengo otro 1 ⁽⁶⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾
Este 1 lo multiplico de nuevo por el divisor ⁽¹⁾ y lo coloco en la cuarta columna en ⁽⁷⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ 1⁽⁷⁾|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾
Sumo verticalmente y el resultado me da cero.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ 1⁽⁷⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾ 0
Si no me hubiera dado cero, tendría que hacer la operación de nuevo probando con otro valor, por ejemplo probaba con el -1, así:
1 1 -1 -1 | -1
|-------------------------
Pero, en este caso no es necesario. Ahora tomamos los valores en negrita como los coeficientes nuevos de un polinomio de grado dos:
1 1 -1 -1 | 1
1 2 1 |-------------------------
----------------------
1 2 1 0
![x^{2} +2x+1 x^{2} +2x+1](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B1)
Y el otro factor es tomando el +1 que fue el valor de prueba. Para acompañarlo de la ''x'' hay que cambiarle el signo. Entonces el otro término es:
![x-1 x-1](https://tex.z-dn.net/?f=x-1)
Multiplico los dos términos y obtengo el polinomio inicial factorizado:
![(x^{2} +2x+1)(x-1) (x^{2} +2x+1)(x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=+%28x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B1%29%28x-1%29)
En pocas palabras:
![x^{3}+ x^{2} -x-1=( x^{2} +2x+1)(x-1) x^{3}+ x^{2} -x-1=( x^{2} +2x+1)(x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B3%7D%2B+x%5E%7B2%7D+-x-1%3D%28+x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B1%29%28x-1%29+)
Reemplazamos donde nos habíamos quedado de la ecuaución igualada a cero:
![x( x^{3}+ x^{2} -x-1)=x( x^{2} +2x+1)(x-1)=0 x( x^{3}+ x^{2} -x-1)=x( x^{2} +2x+1)(x-1)=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%28+x%5E%7B3%7D%2B+x%5E%7B2%7D+-x-1%29%3Dx%28+x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B1%29%28x-1%29%3D0+)
El término x² + 2x +1 puede ser expresado como (x+1)², luego:
![x( x^{2} +2x+1)(x-1)=x( x+1)^{2}(x-1)=0 x( x^{2} +2x+1)(x-1)=x( x+1)^{2}(x-1)=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%28+x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B1%29%28x-1%29%3Dx%28+x%2B1%29%5E%7B2%7D%28x-1%29%3D0+)
Para encontrar las soluciones igualamos cada término a cero:
![\boxed{x=0} \\ x+1=0\Longrightarrow \boxed{x=-1} \\ x-1=0\Longrightarrow \boxed{x=1} \boxed{x=0} \\ x+1=0\Longrightarrow \boxed{x=-1} \\ x-1=0\Longrightarrow \boxed{x=1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cboxed%7Bx%3D0%7D+%5C%5C+x%2B1%3D0%5CLongrightarrow++%5Cboxed%7Bx%3D-1%7D+%5C%5C+x-1%3D0%5CLongrightarrow++%5Cboxed%7Bx%3D1%7D)
iii)![\dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x+ x^{2}} \dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x+ x^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-+%5Cdfrac%7B1-x%7D%7Bx%2B1%7D%3D+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%2B+x%5E%7B2%7D%7D+++)
Puedo sacar factor común ''x'' en el denominador del término de la izquierda:
![\dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x(x+1)} \dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x(x+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-+%5Cdfrac%7B1-x%7D%7Bx%2B1%7D%3D+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%28x%2B1%29%7D)
Para eliminar los denominadores puedo multiplicar cada término por x(x+1):
![1(x+1)-(1-x)x=2 \\ \\ x+1-(x- x^{2} )=2 \\ \\ x+1-x+ x^{2} =2 1(x+1)-(1-x)x=2 \\ \\ x+1-(x- x^{2} )=2 \\ \\ x+1-x+ x^{2} =2](https://tex.z-dn.net/?f=1%28x%2B1%29-%281-x%29x%3D2+%5C%5C++%5C%5C+x%2B1-%28x-+x%5E%7B2%7D+%29%3D2+%5C%5C++%5C%5C+x%2B1-x%2B+x%5E%7B2%7D+%3D2)
Se me simplifican ''x'' y ''-x'' y obtengo:
![x^{2} =1\Longrightarrow x= \pm \sqrt{1}= \pm1 x^{2} =1\Longrightarrow x= \pm \sqrt{1}= \pm1](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+%3D1%5CLongrightarrow+x%3D+%5Cpm+%5Csqrt%7B1%7D%3D+%5Cpm1+)
Las dos soluciones son 1 y -1. Pero si elijo el -1 y lo reemplazo en la ecuación original:
![\dfrac{1}{-1}- \dfrac{1-(-1)}{\underbrace{-1+1}}= \dfrac{2}{-1+ (-1)^{2}} \dfrac{1}{-1}- \dfrac{1-(-1)}{\underbrace{-1+1}}= \dfrac{2}{-1+ (-1)^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B1%7D%7B-1%7D-+%5Cdfrac%7B1-%28-1%29%7D%7B%5Cunderbrace%7B-1%2B1%7D%7D%3D+%5Cdfrac%7B2%7D%7B-1%2B+%28-1%29%5E%7B2%7D%7D)
Se observa que un denominador de la ecuación se vuelve cero. Como no existe la división para cero descartamos esa opción.
La solución única es:
![\boxed{x=1} \boxed{x=1}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D1%7D+)
Un saludo.
ii)
Reordenamos y podemos sacar factor común:
Al polinomio de tercer grado podemos factorizarlo aplicando división sintética. Se colocan los coeficientes en forma de horizontal (están en negrita):
1 1 -1 -1 |
|-------------------------
Luego, se prueba con un número (por ejemplo en este caso escojo el 1 que está marcado con ⁽¹⁾).
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
|-----------------------
Una vez que lo colocamos en el lado superior izquierdo empezamos la operación. Para el primer número bajamos el primer coeficiente en ⁽²⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾
Luego multiplicamos ese valor por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y ese resultado me da 1 ⁽³⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾
Ahora sumo verticalmente el 1 colocado en ⁽³⁾ más el 1 de arriba, que me da dos. Esto lo coloco en ⁽⁴⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾
Nuevamente este 2 lo multiplico por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y obtengo como resultado otro dos que lo coloco en ⁽⁵⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾
Dicho dos lo sumo con el -1 que está arriba y obtengo otro 1 ⁽⁶⁾.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾
Este 1 lo multiplico de nuevo por el divisor ⁽¹⁾ y lo coloco en la cuarta columna en ⁽⁷⁾:
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ 1⁽⁷⁾|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾
Sumo verticalmente y el resultado me da cero.
1 1 -1 -1 | 1⁽¹⁾
1⁽³⁾ 2⁽⁵⁾ 1⁽⁷⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾ 2⁽⁴⁾ 1⁽⁶⁾ 0
Si no me hubiera dado cero, tendría que hacer la operación de nuevo probando con otro valor, por ejemplo probaba con el -1, así:
1 1 -1 -1 | -1
|-------------------------
Pero, en este caso no es necesario. Ahora tomamos los valores en negrita como los coeficientes nuevos de un polinomio de grado dos:
1 1 -1 -1 | 1
1 2 1 |-------------------------
----------------------
1 2 1 0
Y el otro factor es tomando el +1 que fue el valor de prueba. Para acompañarlo de la ''x'' hay que cambiarle el signo. Entonces el otro término es:
Multiplico los dos términos y obtengo el polinomio inicial factorizado:
En pocas palabras:
Reemplazamos donde nos habíamos quedado de la ecuaución igualada a cero:
El término x² + 2x +1 puede ser expresado como (x+1)², luego:
Para encontrar las soluciones igualamos cada término a cero:
iii)
Puedo sacar factor común ''x'' en el denominador del término de la izquierda:
Para eliminar los denominadores puedo multiplicar cada término por x(x+1):
Se me simplifican ''x'' y ''-x'' y obtengo:
Las dos soluciones son 1 y -1. Pero si elijo el -1 y lo reemplazo en la ecuación original:
Se observa que un denominador de la ecuación se vuelve cero. Como no existe la división para cero descartamos esa opción.
La solución única es:
Un saludo.
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