Matemáticas, pregunta formulada por newell, hace 1 año

es URGENTEEE por favor Ayudaaaaaa!!! ... (con solución) gracias

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Respuestas a la pregunta

Contestado por MinosGrifo
2
Hay que solucionar dichas ecuaciones. 

ii)  x^{4}- x^{2} -x+ x^{3}=0

Reordenamos y podemos sacar factor común:

 x^{4}+ x^{3}- x^{2} -x=0 \\  \\ x \underbrace{(x^{3}+ x^{2} -x-1)}_{\boxed{ \text{polinomio 3er grado}}}=0

Al polinomio de tercer grado podemos factorizarlo aplicando división sintética. Se colocan los coeficientes en forma de horizontal (están en negrita):

1    1     -1    -1    |   
                         |-------------------------

Luego, se prueba con un número (por ejemplo en este caso escojo el 1 que está marcado con ⁽¹⁾).

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
                         |-----------------------

Una vez que lo colocamos en el lado superior izquierdo empezamos la operación. Para el primer número bajamos el primer coeficiente en ⁽²⁾:

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
                         |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾     

Luego multiplicamos ese valor por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y ese resultado me da 1 ⁽³⁾. 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾              |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾     

Ahora sumo verticalmente el 1 colocado en ⁽³⁾ más el 1 de arriba, que me da dos. Esto lo coloco en ⁽⁴⁾. 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾               |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾      

Nuevamente este 2 lo multiplico por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y obtengo como resultado otro dos que lo coloco en ⁽⁵⁾: 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾       |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾      

Dicho dos lo sumo con el -1 que está arriba y obtengo otro 1 ⁽⁶⁾.

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾       |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾   

Este 1 lo multiplico de nuevo por el divisor ⁽¹⁾ y lo coloco en la cuarta columna en ⁽⁷⁾:

1    1     -1       -1  |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾   1⁽⁷⁾|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾  

Sumo verticalmente y el resultado me da cero

1    1     -1      -1   |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾   1⁽⁷⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾   0

Si no me hubiera dado cero, tendría que hacer la operación de nuevo probando con otro valor, por ejemplo probaba con el -1, así:

1    1     -1    -1    |   -1
                         |-------------------------

Pero, en este caso no es necesario. Ahora tomamos los valores en negrita como los coeficientes nuevos de un polinomio de grado dos:

1    1      -1     -1   |   1
      1      2     1    |-------------------------
----------------------
1     2     1    0

 x^{2} +2x+1

Y el otro factor es tomando el +1 que fue el valor de prueba. Para acompañarlo de la ''x'' hay que cambiarle el signo. Entonces el otro término es:

x-1

Multiplico los dos términos y obtengo el polinomio inicial factorizado:

 (x^{2} +2x+1)(x-1)

En pocas palabras:

 x^{3}+ x^{2} -x-1=( x^{2} +2x+1)(x-1)

Reemplazamos donde nos habíamos quedado de la ecuaución igualada a cero:

x( x^{3}+ x^{2} -x-1)=x( x^{2} +2x+1)(x-1)=0

El término x² + 2x +1 puede ser expresado como (x+1)², luego:

x( x^{2} +2x+1)(x-1)=x( x+1)^{2}(x-1)=0

Para encontrar las soluciones igualamos cada término a cero:

 \boxed{x=0} \\ x+1=0\Longrightarrow  \boxed{x=-1} \\ x-1=0\Longrightarrow  \boxed{x=1}

iii)  \dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x+ x^{2}}

Puedo sacar factor común ''x'' en el denominador del término de la izquierda:

\dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x(x+1)}

Para eliminar los denominadores puedo multiplicar cada término por x(x+1):

1(x+1)-(1-x)x=2 \\  \\ x+1-(x- x^{2} )=2 \\  \\ x+1-x+ x^{2} =2

Se me simplifican ''x'' y ''-x'' y obtengo:

 x^{2} =1\Longrightarrow x= \pm \sqrt{1}= \pm1

Las dos soluciones son 1 y -1. Pero si elijo el -1 y lo reemplazo en la ecuación original:

\dfrac{1}{-1}- \dfrac{1-(-1)}{\underbrace{-1+1}}= \dfrac{2}{-1+ (-1)^{2}}

Se observa que un denominador de la ecuación se vuelve cero. Como no existe la división para cero descartamos esa opción.

La solución única es:

\boxed{x=1}

Un saludo.
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