Question

Ernesto sabe que cuando se coloca a 12 metros de la base del asta de una bandera, puede observar la parte superior con un ángulo de 36*. Si sus ojos están a 1,63 metros sobre el piso, ¿a que altura está la parte superior del asta?
​

Answer 1

La parte superior del asta se encuentra a 10,35 metros de altura

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB  que equivale a una porción de la altura del asta , el lado BC que representa la distancia del observador a la base del asta y el lado AC es la proyección visual del observador a la parte superior del asta con un ángulo de elevación de 36°

La visual del observador está a 1,63 metros del plano horizontal o de la línea del suelo

Calcularemos antes una porción de la altura del asta. La cual es desde donde están los ojos del observador por encima de la línea del suelo a 1,63 metros de allí

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Conocemos la distancia del observador hasta la base del asta y de un ángulo de elevación de 36°

Distancia del observador hasta la base del asta = 12 metros

Ángulo de elevación = 36°

Debemos hallar la altura del asta

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como conocemos el valor del cateto adyacente (lado BC) y de un ángulo de elevación de 36°, podemos relacionar a ambos mediante la tangente.

Planteamos:

$\boxed{ \bold { tan(36)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(36)\° = \frac{porcion \ altura\ asta }{ distancia \ observador\ al \ asta } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { porcion \ altura\ asta \ (AB)= \ distancia \ al \ asta \ . \ tan(36)\° }}$

$\boxed{ \bold { porcion \ altura\ asta \ (AB)= \ 12 \ metros \ . \ tan(36)\° }}$

$\boxed{ \bold { porcion \ altura\ asta \ (AB)= \ 12 \ metros \ . \ 0,7265425280053 }}$

$\boxed{ \bold { porcion \ altura\ asta \ (AB)= \ 8,72 \ metros }}$

Como mencionamos antes, la visual del observador está a 1,63 metros del plano horizontal o de la línea del suelo

Para hallar la altura del asta le debemos sumar a la porción de la altura hallada del asta la altura del observador

$\boxed{ \bold { altura \ del \ asta = porcion \ altura\ asta \ + \ estatura \ observador }}$

$\boxed{ \bold { AD \ = AB \ + \ CD }}$

$\boxed{ \bold { altura \ del \ asta = 8,72 \ metros \ + \ 1,63 \ metros }}$

$\boxed{ \bold { altura \ del \ asta = 10,35 \ metros }}$

La altura del asta de es 10,35 metros