Entre todos los rectangulos que tienen de perímetro 60cm, ¿Cuál de ellos tiene mayor área?
Respuestas a la pregunta
x: base
y: altura
2x + 2y = 60
x + y = 30
x = 30-y
Area = base x altura
Area = (30-y) y
Area = 30y - y^2
Derivada de area = 30 - 2y
30 -2y = 0
y =15
veamos que 15 sea máximo:
Si la segunda derivada es negativa, nos confirma que es punto máximo:
La derivada de 30-2y es -2, por lo 15 es punto máximo
Por lo tanto tenemos que para la mayor area en un perímetro de 60cm, la altura tiene que ser 15, y la base ( x = 30-15) también
bueeeno el área de un rectángulo es base por altura:
a=b*h
el perímetro de un rectángulo es:
p=2b+2h
Para hallar máximos debemos dejar a la ecuación del área en función de una variable:
60cm=2b+2h
(60cm-2b)/2=h
30cm-b=h
ahora reemplazamos en la ecuación del área:
a(b)=b*(30cm-b)
a(b)=30cm*b-b²
Para hallar máximos derivamos la función y la igualamos a 0:
a'(b)=30cm-2b
0=30cm-2b
15cm=b
Para saber si es máximo derivamos otra vez y vemos el signo de la función:
a''(b)= -2
es negativo así que es un máximo.
Para que el rectángulo tenga el mayor área posible su base debe medir 15cm con ese dato hallamos el valor de la altura:
60cm=2*15cm+2h
15cm=h
es decir para que un rectángulo de perímetro igual a 60 cm tenga el mayor área posible su base debe medir 15 cm y su altura debe ser de 15 cm y esto lo transforma en un cuadrado.